§ 14. Закон сохранения энергии в механике

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем больше масса или скорость, тем больше кинетическая энергия; скорость входит в формулу в квадрате. Эта величина позволяет описать способность движущегося тела совершать работу.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести связана с его положением относительно выбранного нулевого уровня: Eп = mgh. Здесь h — высота над этим уровнем, а g — ускорение свободного падения. Формула помогает учитывать запас энергии, который может перейти в движение при падении тела.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, запасённая при растяжении или сжатии пружины: Eп = kx²/2. В этой формуле k — жёсткость пружины, x — величина её деформации. Она показывает, сколько энергии может передать пружина при возвращении к исходной форме.

Полная механическая энергия системы — сумма её кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. По этой сумме сравнивают состояния системы в разные моменты времени. Если соблюдены условия сохранения, её значение остаётся постоянным, хотя составляющие могут меняться.

Как это устроено

Теорема об изменении кинетической энергии связывает работу силы с изменением кинетической энергии тела: работа равна разности конечной и начальной Eк. При движении тела под действием силы тяжести эта сила совершает работу, меняя скорость. Одновременно меняется потенциальная энергия: работа силы тяжести равна убыли Eп. Поэтому увеличение Eк компенсируется уменьшением Eп, и сумма Eк + Eп не меняется, если других влияний нет.

При движении тела вверх сила тяжести направлена вниз, то есть против движения. Она уменьшает скорость, поэтому падает и кинетическая энергия, а высота и потенциальная энергия увеличиваются. При падении сила тяжести направлена по движению: тело разгоняется, Eк растёт, а Eп убывает. В обоих случаях энергия не исчезает, а переходит из одной формы в другую.

У груза на пружине энергия тоже переходит между двумя формами. Когда пружина растянута или сжата сильнее всего, груз на мгновение останавливается, и энергия в основном запасена в деформации. Двигаясь к положению равновесия, пружина действует на груз и разгоняет его, поэтому её потенциальная энергия превращается в кинетическую. Затем груз растягивает или сжимает пружину с другой стороны, и превращение идёт обратно; без потерь сумма энергий постоянна.

Закон сохранения механической энергии применим, когда работу совершают только консервативные силы, например сила тяжести или упругости. Такие силы могут менять кинетическую и потенциальную энергии, но не уводят энергию из механической системы. Сила трения действует иначе: часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел, часто сопровождаемую нагреванием. Поэтому при трении одной суммы Eк + Eп для описания всех превращений уже недостаточно.

Для потенциальной энергии можно выбрать любой нулевой уровень: например, принять за ноль пол, поверхность земли или точку на траектории. Из-за этого численное значение Eп может измениться, но разность энергий между двумя высотами останется прежней. Именно изменение потенциальной энергии определяет работу силы тяжести и результат сравнения начального и конечного состояний. Поэтому произвольный выбор нуля не меняет вывод о сохранении полной механической энергии.

Механическая энергия и её сохранение

Сначала определите, какие формы энергии есть в начальном и конечном состояниях, а затем выберите соответствующие строки таблицы. Для системы без потерь приравняйте полные механические энергии этих состояний. Если есть трение, не используйте такое равенство без поправки на переход энергии во внутреннюю.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 5 м. Найдите его скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебречь.

1. Выберем землю за нулевой уровень. В начале тело покоится, поэтому его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная составляет mgh.
2. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, значит, механическая энергия сохраняется. Перед ударом высота тела равна нулю, а энергия становится кинетической: mgh = mv²/2.
3. Сократим обе части на m и выразим скорость: v = √(2gh). Подставим g ≈ 9,8 м/с² и h = 5 м: v = √98 ≈ 9,9 м/с.

Ответ: скорость перед ударом около 9,9 м/с. Масса не влияет на результат, потому что она сокращается в уравнении.

Задача 2. Груз массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какую максимальную высоту он поднимется?

1. Удобно отсчитывать высоту от точки броска. В начале у груза есть кинетическая энергия mv₀²/2, а в верхней точке скорость равна нулю.
2. Пренебрежём сопротивлением воздуха. По закону сохранения энергии начальная кинетическая энергия равна приросту потенциальной: mv₀²/2 = mgh.
3. Сократим массу и найдём высоту: h = v₀²/(2g) = 100/19,6 ≈ 5,1 м. Масса груза, как и в задаче о падении, на результат не влияет.

Ответ: груз поднимется примерно на 5,1 м выше точки броска.

Задача 3. Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 0,10 м и отпускается. Найдите скорость груза массой 0,40 кг в момент прохождения положения равновесия, если потерь нет.

1. В начале пружина деформирована, а груз покоится. Значит, энергия системы запасена в пружине и равна kx²/2.
2. В положении равновесия деформация пружины равна нулю. Вся начальная энергия переходит в кинетическую энергию груза: kx²/2 = mv²/2.
3. Сократим множитель 1/2 и выразим скорость: v = x√(k/m). Подстановка даёт v = 0,10√(200/0,40) = 0,10√500 ≈ 2,24 м/с.

Ответ: скорость груза в положении равновесия около 2,2 м/с. Равенство энергий справедливо, поскольку потерь нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что сохраняется одна и та же форма энергии. При движении Eк и Eп могут превращаться друг в друга, поэтому каждая из них по отдельности обычно меняется. Так ошибаются, когда следят только за движением или только за высотой. Проверьте себя: запишите обе энергии для начального и конечного состояний и сравните их сумму.

Ошибка — применять закон сохранения механической энергии при заметном трении. Трение переводит часть механической энергии во внутреннюю, поэтому Eк + Eп обычно уменьшается. Ошибка возникает, если считать, что любое изменение энергии обязательно происходит только между кинетической и потенциальной формами. Проверьте условие задачи: если трением нельзя пренебречь, учтите его работу или переход энергии в тепло.

Ошибка — подставлять высоту, не уточнив нулевой уровень, или путать высоту с её изменением. Потенциальная энергия определяется относительно выбранного нуля, а в переходе между состояниями важна разность высот. Неясность выбора часто приводит к сравнению несопоставимых значений. Проверьте себя: отметьте, откуда отсчитывается h, и вычислите изменение Eп между нужными состояниями.

Ошибка — считать отрицательную потенциальную энергию невозможной или требовать неизменности её абсолютного значения. Если тело находится ниже выбранного нулевого уровня, его Eп может быть отрицательной. Это допускают, потому что путают условный выбор нуля с физическим изменением энергии. Проверьте себя: можно перенести нулевой уровень и убедиться, что разность потенциальных энергий между состояниями не изменилась.

Связь с другими темами

Для применения закона понадобятся понятия работы силы и теорема об изменении кинетической энергии. Формулы Eк = mv²/2 и Eп = mgh связывают энергию с движением и положением тела, а для пружины используется Eп = kx²/2. Энергетический подход удобен в задачах о падении и бросках, движении по наклонной плоскости и колебаниях пружинного маятника. Идея перехода энергии из одной формы в другую готовит к изучению превращений энергии и термодинамики.

Что запомнить

• Кинетическая энергия тела равна mv²/2.
• Потенциальная энергия в поле тяжести зависит от высоты относительно выбранного уровня.
• Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Если действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.
• При трении механическая энергия превращается во внутреннюю, поэтому её сумма обычно не сохраняется.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно.