§ 18. Закон сохранения энергии в механике

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движения тела, Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Она показывает, какую работу может совершить движущееся тело при остановке или столкновении. Формула помогает связать скорость с энергией и сравнивать движение тел разной массы.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. Например, у поднятого над землёй тела Eп = mgh, если выбран уровень, где Eп = 0, а высота отсчитывается от него. Эта величина нужна, чтобы описывать запас энергии, который может перейти в движение.

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Eмех = Eк + Eп. Кинетическая энергия отвечает за движение, а потенциальная — за взаимодействие и положение. Их сумма позволяет учитывать переход энергии из одного вида в другой.

Закон сохранения механической энергии утверждает: при действии только консервативных сил полная механическая энергия системы остаётся постоянной. Консервативными называют силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями, например силу тяжести. Закон нужен, чтобы находить изменения скорости или высоты без полного разбора движения по силам.

Как это устроено

Сила меняет скорость, совершая работу: при разгоне тело получает энергию движения, а при торможении теряет её. Согласно теореме о кинетической энергии, работа равнодействующей сил равна изменению кинетической энергии: A = ΔEк. Поэтому если известны работа и начальная скорость, можно определить конечную скорость, не выясняя подробно, как менялось ускорение на каждом участке.

Потенциальная энергия появляется, когда тела взаимодействуют и их взаимное положение можно изменить, совершив работу. Поднятое тело способно упасть, а растянутая пружина — сжаться и привести другие тела в движение. Значение Eп зависит от того, где условно выбран нулевой уровень: при его смещении меняются численные значения, но разность энергий между положениями остаётся прежней. Поэтому в одной задаче высоты и потенциальные энергии отсчитывают от общего уровня.

При падении тело теряет высоту, значит, уменьшается его потенциальная энергия, а скорость и кинетическая энергия растут. При подъёме происходит обратное: движение замедляется, зато увеличивается энергия положения. Если потеря одной составляющей равна приросту другой, их сумма не меняется. Именно поэтому механическая энергия сохраняется, хотя кинетическая и потенциальная энергии по отдельности могут заметно изменяться.

Сохранение механической энергии возможно, когда работу совершают только консервативные силы. Трение и сопротивление воздуха зависят от пути и превращают часть энергии движения или положения во внутреннюю энергию тел и среды; обычно они также вызывают нагрев. Поэтому механическая энергия уменьшается, хотя полная энергия с учётом внутренних изменений не исчезает. Если такие силы действуют, их работу нужно включить в расчёт.

Чтобы применить закон, выбирают начальное и конечное состояния, затем записывают для каждого сумму кинетической и потенциальной энергий. При отсутствии неконсервативных сил получается Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2. Это уравнение связывает состояния и часто заменяет отдельный расчёт сил, ускорения и времени движения. Если есть трение, равенство дополняют работой этой силы или энергией, перешедшей во внутреннюю.

Виды механической энергии и условия их сохранения

Сначала определите, какая энергия меняется в каждой точке движения, а затем выберите удобный нулевой уровень для потенциальной энергии. Если трения нет, сравните суммы Eк и Eп в начальном и конечном состояниях. При наличии трения добавьте его работу или учтите превращение механической энергии во внутреннюю.

Разбор задач

Падение камня

Камень массой 2 кг падает без сопротивления воздуха с высоты 5 м. Нужно найти скорость у поверхности Земли. Выберем поверхность нулевым уровнем потенциальной энергии и обозначим ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². Считаем, что камень начинает падать без начальной скорости.

1. Запишем начальную энергию: камень покоится, поэтому Eк1 = 0, а Eп1 = mgh.
2. У поверхности Eп2 = 0, и вся механическая энергия становится кинетической: Eк2 = mv²/2.
3. Приравняем энергии: mgh = mv²/2. Масса сокращается, поэтому v = √(2gh) = √(2 · 9,8 · 5) ≈ 9,9 м/с.

Ответ: скорость камня у поверхности Земли примерно 9,9 м/с. Масса не влияет на результат, потому что одинаково входит в начальную и конечную энергию.

Бросок мяча вверх

Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Требуется найти наибольшую высоту относительно точки броска. В верхней точке скорость на мгновение становится равной нулю. Поэтому начальная кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

1. Уровень точки броска примем за нулевой, тогда начальная потенциальная энергия равна нулю.
2. Запишем сохранение энергии: mv₀²/2 = mgh. Сократим массу и выразим высоту: h = v₀²/(2g).
3. Подставим числа: h = 10²/(2 · 9,8) ≈ 5,1 м.

Ответ: максимальная высота подъёма составляет примерно 5,1 м. Масса мяча не нужна, так как она сокращается в уравнении.

Скольжение с трением

Брусок начинает скользить из состояния покоя с высоты h по прямой наклонной плоскости длиной s. Известны масса m и коэффициент трения μ; угол наклона обозначим α. Нужно найти скорость внизу, учитывая трение. Сила трения равна μmg cos α, а её работа направлена против движения.

1. Начальная механическая энергия равна mgh, а конечная — mv²/2, если нижнюю точку принять за нулевой уровень.
2. Работа трения Aтр = −μmg cos α · s. Поэтому начальная энергия плюс работа трения равны конечной: mgh − μmg cos α · s = mv²/2.
3. Сократим массу и выразим скорость: v = √(2gh − 2μg cos α · s). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе заданных условий недостаточно для достижения низа.

Ответ: v = √(2gh − 2μg cos α · s). Потеря механической энергии равна по модулю работе трения и переходит во внутреннюю энергию.

Типичные ошибки

Считать потенциальную энергию абсолютной величиной. Это неверно: её нулевой уровень выбирают условно, поэтому численное значение зависит от выбора. Ошибку допускают, когда принимают выбранный в примере уровень за единственно возможный. Проверьте себя: одинаково ли отсчитаны высоты в начальном и конечном состояниях?

Применять сохранение механической энергии при трении без поправки. Трение передаёт часть механической энергии телам и среде, поэтому сумма Eк + Eп обычно уменьшается. Нередко трение просто не замечают, потому что в формуле сохранения энергии его нет. Проверьте условие и добавьте работу трения либо изменение внутренней энергии.

Забывать, что скорость возводится в квадрат. В формуле Eк = mv²/2 скорость входит как v², поэтому удвоение скорости увеличивает кинетическую энергию в четыре раза. Ошибку допускают при подстановке чисел или при извлечении корня из уравнения. Проверьте, что в промежуточной записи стоит именно квадрат скорости.

Считать неизменными кинетическую и потенциальную энергии по отдельности. При сохранении механической энергии постоянна их сумма, а каждая составляющая может меняться. Например, падающее тело теряет потенциальную энергию и одновременно набирает кинетическую. Проверьте решение: постоянной должна оставаться сумма Eк + Eп, а не обязательно каждое слагаемое.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны понятия работы силы, мощности и кинетической энергии, а также потенциальная энергия и второй закон Ньютона. Закон особенно полезен при свободном падении, движении по наклонной плоскости, работе пружин и анализе столкновений. Он связан с общим законом сохранения энергии в термодинамике и электродинамике: механическая энергия может переходить в другие виды, но энергия системы в целом сохраняется.

Что запомнить

• Кинетическая энергия тела равна Eк = mv²/2.
• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Потенциальная энергия зависит от выбранного нулевого уровня.
• Без трения и сопротивления полная механическая энергия сохраняется.
• При падении потенциальная энергия превращается в кинетическую.
• При наличии неконсервативных сил нужно учитывать их работу или изменение внутренней энергии.
• Закон сохранения энергии записывают для начального и конечного состояний системы.