4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии при наличии выталкивающей силы

Определения и обозначения

Выталкивающая сила — сила, действующая со стороны жидкости или газа на погружённое тело и направленная вверх. Она возникает из-за разного давления среды на нижнюю и верхнюю части тела. Это понятие позволяет учитывать влияние жидкости на движение.

Сила Архимеда — выталкивающая сила, равная по модулю весу вытесненной телом жидкости: Fₐ = ρжgVпогр. Здесь ρж — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, Vпогр — объём погружённой части. По этой формуле находят силу в задачах.

Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: Eк2 − Eк1 = ΣA. Изменение энергии движения равно сумме работ всех сил, действующих на тело. Теорема заменяет непосредственное нахождение ускорения энергетическим расчётом.

Работа выталкивающей силы — работа силы Архимеда при перемещении тела: Aₐ = Fₐs cos α, если сила постоянна. Угол α измеряют между направлением силы и перемещением. Знак работы показывает, увеличивает сила кинетическую энергию или уменьшает её.

Как это устроено

Силу Архимеда находят через объём именно той части тела, которая находится в жидкости: Fₐ = ρжgVпогр. Причина в том, что давление жидкости действует только на погружённую поверхность и вытесняется только погружённый объём. Если тело погружено полностью, Vпогр равен объёму тела, а при частичном погружении он меньше полного объёма.

При вертикальном движении вверх сила Архимеда и перемещение направлены одинаково, поэтому её работа положительна: Aₐ = Fₐh. Сила тяжести направлена вниз, то есть противоположна перемещению, и выполняет отрицательную работу Aт = −mgh. При движении вниз направления относительно перемещения меняются: работа тяжести становится положительной, а работа Архимеда — отрицательной.

Для движения вверх теорема записывается так: Eк2 − Eк1 = Aₐ + Aт = Fₐh − mgh. Для движения вниз при перемещении на глубину h: Eк2 − Eк1 = mgh − Fₐh. В уравнение входят работы всех сил, поэтому учитывать только Архимеда нельзя: сила тяжести действует одновременно.

При полном погружении Fₐ = ρжgV, а mg = ρтgV. Поэтому при ρж > ρт результирующая сила направлена вверх, при ρж < ρт — вниз, а при равенстве плотностей силы уравновешены. Это заранее подсказывает, будет ли тело ускоряться, замедляться или сохранять скорость, но фактическое изменение скорости зависит также от начального направления движения.

Если тело выходит из жидкости, Vпогр уменьшается вместе с глубиной погружения, поэтому Fₐ уже нельзя считать постоянной. Участок полного погружения считают отдельно, затем находят работу на участке выхода. При известном графике Fₐ(s) работа равна площади под графиком с учётом знака.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии при действии выталкивающей силы

Таблица показывает, как соотносятся работы сил при равномерном плавании. В более общих задачах нужно сначала определить направление перемещения, затем поставить знаки работ и применить теорему. Если силы компенсируются, кинетическая энергия не изменяется.

Разбор задач

1. Подъём полностью погружённого тела

Условие: тело массой m и объёмом V поднимается в воде на высоту h, оставаясь полностью погружённым; начальная скорость v₀. Найти конечную скорость. Сопротивлением воды пренебрегаем.

1. Сила Архимеда постоянна: Fₐ = ρжgV.
2. Для подъёма: Aₐ = Fₐh, Aт = −mgh.
3. По теореме ½mv² − ½mv₀² = ρжgVh − mgh.
4. После деления на ½m получаем v² = v₀² + 2gh(ρжV/m − 1).

Ответ: v = √[v₀² + 2gh(ρжV/m − 1)]. Если тело плотнее воды, выражение добавляет отрицательный вклад: при движении вверх оно замедляется.

2. Движение вниз в жидкости

Условие: тело плотностью ρт движется вниз с начальной скоростью v₀ и проходит путь h в жидкости плотностью ρж. Найти скорость и установить характер движения.

1. При полном погружении отношение сил равно ρж/ρт.
2. При движении вниз Aт = mgh, Aₐ = −ρжgVh.
3. Так как m = ρтV, теорема даёт v² = v₀² + 2gh(1 − ρж/ρт).
4. Если ρт > ρж, скорость растёт; если ρт < ρж, тело замедляется; при равенстве плотностей скорость постоянна.

Ответ: v = √[v₀² + 2gh(1 − ρж/ρт)]. Знак добавки к v₀² сразу показывает, увеличивается или уменьшается кинетическая энергия.

3. Выход тела из воды

Условие: тело бросают вертикально вверх из глубины воды, оно частично выходит из неё, а затем движется над поверхностью. Требуется найти максимальную высоту подъёма.

1. На полностью погружённом участке используют постоянную силу Fₐ = ρжgV и находят скорость у поверхности.
2. На участке выхода объём Vпогр уменьшается, поэтому работу Aₐ вычисляют по участкам или как площадь под графиком Fₐ(s).
3. После выхода из воды сила Архимеда отсутствует, и кинетическая энергия уменьшается только на работу тяжести mgh.
4. Складывают работы всех участков и при максимальной высоте полагают конечную скорость равной нулю.

Ответ: высоту находят из общего энергетического уравнения 0 − ½mv₀² = ΣA. Численный результат возможен после задания размеров тела, начальной скорости и глубины старта.

Типичные ошибки

Считать Fₐ = ρжgV всего тела при частичном погружении — ошибка из-за смешения полного и погружённого объёмов. Проверка проста: в формуле должен стоять объём вытесненной жидкости, а не обязательно объём тела.

Приписывать работе знак по названию силы неверно, потому что знак определяется направлениями силы и перемещения. Нарисуйте оба вектора и проверьте угол между ними: острый угол даёт положительную работу, тупой — отрицательную.

Учитывать только работу Архимеда нельзя: на тело действует и сила тяжести. Перед записью теоремы составьте список всех сил.

Использовать постоянную Fₐ на всём пути при выходе из жидкости нельзя, поскольку меняется Vпогр. Разбейте движение на участки или найдите работу по графику силы.

Связь с другими темами

Для темы нужны теорема об изменении кинетической энергии, работа постоянной силы и потенциальная энергия в поле тяжести. Эти знания позволяют переводить действие сил в изменение скорости.

Тема опирается на закон Архимеда, условие плавания и сравнение плотностей тела и жидкости. Сила Архимеда объясняет, почему тело всплывает, тонет или остаётся в равновесии.

Метод используется в задачах о движении в жидкости, выходе тела на поверхность и переходе между средами. Он особенно удобен, когда ускорение меняется или неизвестно.

Что запомнить

• Сила Архимеда направлена вертикально вверх.
• Fₐ = ρжgVпогр.
• Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех сил.
• При движении вверх работа Архимеда положительна, а работа силы тяжести отрицательна.
• При движении вниз знаки работ силы Архимеда и силы тяжести меняются местами.
• Если объём погружённой части меняется, силу Архимеда нельзя считать постоянной без дополнительного обоснования.
• При выходе тела из жидкости движение нужно разбивать на отдельные участки.