3. Применение теоремы об изменении кинетической энергии при движении по криволинейной траектории и по наклонной плоскости

Определения и обозначения

Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех сил, действующих на него. Иначе говоря, Eк₂ − Eк₁ = Aрез, где Eк₁ и Eк₂ — энергии в начале и конце движения. Теорема нужна, чтобы связать скорости в этих точках с работами сил.

Работа силы на криволинейном участке — сумма элементарных работ силы на малых перемещениях тела вдоль траектории. На каждом таком участке можно учитывать составляющую силы по направлению перемещения. Это позволяет применить теорему, даже если тело движется не по прямой.

Нормальная реакция опоры — сила со стороны поверхности, направленная перпендикулярно ей. На гладкой неподвижной опоре реакция перпендикулярна перемещению и не совершает работы. Это различие важно: сила может менять направление движения, не изменяя кинетическую энергию.

Наклонная плоскость — плоская опора, образующая угол с горизонтом. Действующие силы удобно рассматривать через их составляющие вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Так находят работу тяжести и силу трения на заданном пути.

Как это устроено

Теорему можно применять к криволинейному движению, потому что работу силы определяют на каждом малом перемещении, а затем складывают полученные значения. На достаточно коротком участке направление перемещения почти не меняется, поэтому его можно считать прямолинейным. Сумма таких элементарных работ даёт работу на всей траектории. Значит, форма пути не мешает связать работу сил с изменением кинетической энергии.

Работа силы тяжести определяется только начальной и конечной высотами: при перемещении из точки 1 в точку 2 она равна mg(h₁ − h₂). Это связано с тем, что сила тяжести постоянна по величине и направлена вертикально вниз: горизонтальные перемещения не дают вклада в работу. При спуске работа положительна, поскольку тяжесть направлена в сторону изменения высоты; при подъёме — отрицательна. Поэтому длину извилистого пути для расчёта этой работы знать не требуется.

Реакция гладкой неподвижной опоры перпендикулярна поверхности, а мгновенное перемещение тела направлено вдоль неё. У перпендикулярных силы и перемещения скалярное произведение равно нулю, значит, работа реакции равна нулю. При этом тело может поворачивать: реакция меняет направление скорости, не меняя её модуль. На шероховатой поверхности появляется трение, направленное против скольжения, и его работа становится отрицательной.

Трение уменьшает кинетическую энергию, потому что сила направлена против перемещения. Если сила трения постоянна на пути l, то её работа Aтр = −Fтрl; знак минус показывает, что энергия убывает. На наклонной плоскости при угле α сила тяжести имеет составляющую вдоль плоскости mg sin α, а нормальная реакция при обычном скольжении равна mg cos α. Тогда сила трения скольжения равна μmg cos α, где μ — коэффициент трения.

Чтобы найти скорость на наклонной плоскости, сначала выбирают начальную и конечную точки и записывают Eк₂ − Eк₁ = ΣA. Затем подставляют работы тяжести, трения и других сил, учитывая их знаки, и выражают конечную энергию. Если известны масса и энергия, скорость находят из Eк = mv²/2. Такой порядок позволяет не искать время движения и ускорение, когда для ответа достаточно сведений о пути и высоте.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии

Выберите строку, которая описывает движение, и выпишите работы сил с учётом их знаков. Затем приравняйте их сумму изменению кинетической энергии и оставьте в уравнении искомую величину. Для кривого пути отдельно проверьте, зависит ли работа каждой силы от высоты, длины пути или направления перемещения.

Разбор задач

Спуск по гладкой наклонной плоскости

Условие. Брусок начинает скользить без начальной скорости по гладкой наклонной плоскости с высоты h. Найдите его скорость у основания. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Запишем теорему между верхней точкой и основанием: Eк₂ − Eк₁ = Aтяж + Aреакции.
2. Начальная скорость равна нулю, поэтому Eк₁ = 0. Реакция перпендикулярна перемещению и работы не совершает, а работа тяжести при спуске равна mgh.
3. Получаем mv²/2 = mgh. Сокращаем массу и выражаем скорость: v = √(2gh).

Ответ: скорость у основания равна √(2gh). Угол и длина плоскости не нужны: при отсутствии трения работа тяжести задаётся перепадом высот.

Движение по шероховатой наклонной плоскости

Условие. Брусок скользит по шероховатой наклонной плоскости длиной l под углом α к горизонту. Его начальная скорость v₀ направлена вниз, коэффициент трения равен μ. Найдите скорость в конце пути.

1. Выберем движение вниз положительным и запишем Eк₂ − Eк₁ = Aтяж + Aтр. Начальная и конечная энергии равны mv₀²/2 и mv²/2.
2. Высота уменьшилась на l sin α, поэтому Aтяж = mgl sin α. Сила трения равна μmg cos α и направлена против движения, значит, Aтр = −μmg cos α · l.
3. Подставим работы: mv²/2 − mv₀²/2 = mgl sin α − μmg cos α · l. После сокращения массы получим v = √(v₀² + 2gl(sin α − μ cos α)).

Ответ: v = √(v₀² + 2gl(sin α − μ cos α)), если выражение под корнем неотрицательно и брусок проходит весь путь. Если оно отрицательно, заданные условия не обеспечивают движение до конца участка.

Движение по внутренней поверхности окружности

Условие. Тело движется по внутренней поверхности гладкой вертикальной окружности. Найдите скорость в нижней точке, если в верхней точке скорость равна v₀, а радиус окружности равен R. Сопротивления нет.

1. Применим теорему между верхней и нижней точками: Eк₂ − Eк₁ = Aтяж + Aреакции. Движение криволинейное, но теорема применима, поскольку работа складывается из элементарных работ.
2. Реакция опоры всё время перпендикулярна перемещению и не совершает работы. При спуске на высоту 2R сила тяжести совершает работу 2mgR.
3. Запишем mv²/2 − mv₀²/2 = 2mgR. Отсюда v² = v₀² + 4gR, поэтому v = √(v₀² + 4gR).

Ответ: в нижней точке скорость равна √(v₀² + 4gR). Для движения от нижней точки к верхней работа тяжести была бы отрицательной: при подъёме на 2R скорость определялась бы соотношением vверх² = vниз² − 4gR.

Типичные ошибки

Считать, что нормальная реакция всегда совершает работу. Так думают, потому что реакция — действующая на тело сила, но сама по себе сила ещё не гарантирует ненулевую работу. На гладкой неподвижной опоре она перпендикулярна мгновенному перемещению, поэтому работа равна нулю. Проверьте угол между силой и перемещением: при 90° вклад в работу отсутствует.

Подставлять длину криволинейного пути вместо разности высот. Ошибка возникает из-за того, что работа обычно связана с перемещением, но работа тяжести не зависит от формы пути. Для неё нужно сравнить высоты начала и конца: Aтяж = mg(h₁ − h₂). Если точки на одной высоте, работа тяжести равна нулю даже при длинном пути.

Записывать работу трения положительной. Иногда величину силы принимают за работу, забывая про направление. При скольжении трение направлено против перемещения, поэтому Aтр = −Fтрl. Самопроверка проста: если трение тормозит тело, его работа не должна увеличивать кинетическую энергию.

Забывать начальную кинетическую энергию или считать изменением только конечную. Это случается, когда теорему сразу записывают как Eк = A, хотя такая запись подходит лишь при нулевой начальной скорости и правильно выбранном отсчёте. Всегда начинайте с Eк₂ − Eк₁ = ΣA и подставляйте обе энергии. Если тело уже движется, начальный член mv₀²/2 нельзя отбрасывать.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой понадобятся понятия кинетической энергии и механической работы, а также знания о мощности и силах: тяжести, трения и реакции опоры. Мощность помогает описывать скорость совершения работы, но в задачах этого параграфа ключевым остаётся полный баланс работ и изменения энергии. Теорема подготавливает переход к закону сохранения механической энергии: если работа неконсервативных сил отсутствует, механическая энергия сохраняется. Она также полезна при разборе движения по окружности и другим криволинейным траекториям.

Что запомнить

• Изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей сил.
• Работа силы на криволинейной траектории находится как сумма элементарных работ.
• Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты.
• На гладкой неподвижной опоре нормальная реакция работы не совершает.
• Работа трения при скольжении отрицательна.
• На наклонной плоскости удобно находить работы сил через длину пути и угол наклона.
• Теорема позволяет находить скорость без непосредственного решения уравнений движения.