§ 6.8. Закон сохранения энергии в механике

Определения и обозначения

Механическая энергия — величина, равная сумме кинетической и потенциальной энергий тела или системы: Eм = Eк + Eп. Она показывает, сколько энергии связано с движением и положением тел. Это основная величина, которую сравнивают в задачах о превращениях энергии.

Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше его кинетическая энергия. Формула помогает связать изменение скорости с работой сил.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или положения тела в поле сил. Например, в поле тяжести Eп = mgh, а у деформированной пружины Eп = kx²/2. Её значение зависит от выбранного нулевого уровня, поэтому обычно используют разность потенциальных энергий.

Закон сохранения механической энергии утверждает: при действии только консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной. Консервативными называют силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями, а не формой пути. Закон позволяет находить неизвестную скорость, высоту или деформацию.

Как это устроено

Теорема о кинетической энергии говорит, что работа всех сил равна изменению кинетической энергии: A = Eк2 − Eк1. Для консервативной силы её работа связана с потенциальной энергией: A = Eп1 − Eп2. Поэтому Eк2 − Eк1 = Eп1 − Eп2, после перестановки получаем Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2.

Потенциальную энергию вводят именно для консервативных сил, потому что их работу можно выразить через два положения тела. Если работа зависит от всей траектории, одной функции потенциальной энергии для такой силы недостаточно. Так обстоит дело с силой трения: её работа зависит от пройденного пути.

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают там, где удобно: например, поверхность земли можно принять за уровень Eп = 0. При переносе нулевого уровня все значения потенциальной энергии изменятся на одну и ту же постоянную. Разность Eп1 − Eп2 и итоговая скорость при этом останутся прежними.

При падении тела его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается на такую же величину, если сопротивления нет. У сжатой пружины энергия деформации при распрямлении переходит в энергию движения груза. В обратном процессе движущийся груз растягивает или сжимает пружину, передавая ей свою кинетическую энергию.

Запись Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 сравнивает два состояния системы: начальное и конечное. Время и форма траектории в неё не входят, потому что работа консервативной силы зависит только от положений. Поэтому часто достаточно выбрать удобные точки и составить одно уравнение.

Трение совершает отрицательную работу и уменьшает механическую энергию: Eм2 = Eм1 + Aтр, где Aтр < 0. Потерянная механическая энергия не исчезает, а превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел и окружающей среды. Для полной системы действует общий закон сохранения энергии, если включить в рассмотрение нагрев.

Виды механической энергии и условия их сохранения

Сначала определите, какие виды энергии есть в начальном и конечном состояниях. Затем выберите подходящую строку и проверьте, действуют ли только консервативные силы.

Если есть трение, используйте не равенство постоянства механической энергии, а баланс с работой трения. Знак работы подсказывает направление изменения: отрицательная работа уменьшает механическую энергию.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг свободно падает с высоты 5 м без начальной скорости. Найдём скорость у земли, выбрав уровень земли нулевым и пренебрегая сопротивлением воздуха.

1. В начале Eк1 = 0, Eп1 = mgh; у земли Eп2 = 0, Eк2 = mv²/2.
2. По закону сохранения энергии mgh = mv²/2. Масса сокращается, поэтому v = √(2gh).
3. При g ≈ 10 м/с² получаем v = √(2 · 10 · 5) = 10 м/с.

Ответ: скорость тела у земли равна 10 м/с. Направление скорости — вертикально вниз.

Задача 2. Груз массой m сжимает пружину жёсткостью k на величину x и затем движется по гладкой горизонтальной поверхности. Найдём максимальную скорость, когда пружина полностью распрямится.

1. В начальный момент энергия равна энергии деформации: Eп1 = kx²/2, а груз покоится.
2. В момент максимальной скорости пружина не деформирована, поэтому Eп2 = 0, Eк2 = mv²/2.
3. Из kx²/2 = mv²/2 следует v = x√(k/m).

Ответ: максимальная скорость груза равна x√(k/m). Гладкая поверхность означает, что работа трения отсутствует и вся энергия пружины переходит в кинетическую.

Задача 3. Тело движется по шероховатой наклонной плоскости с начальной скоростью v₀. Пусть оно проходит путь s, опускаясь на высоту h, а коэффициент трения равен μ.

1. Начальная механическая энергия: mv₀²/2 + mgh. Конечная энергия у основания: mv²/2, если уровень основания принять нулевым.
2. Работа трения отрицательна: Aтр = −μmg cos α · s, где α — угол наклона плоскости.
3. Составляем баланс: mv₀²/2 + mgh + Aтр = mv²/2. Отсюда v = √(v₀² + 2gh − 2μg cos α · s).

Ответ: скорость у основания находят по последней формуле, если подкоренное выражение неотрицательно. Для подъёма аналогично записывают начальную и конечную энергии, но работа трения также уменьшает запас механической энергии.

Типичные ошибки

Считать механическую энергию сохраняющейся при наличии трения — ошибка, потому что часть энергии уходит на нагрев тел. Проверяйте список сил: при трении добавляйте её работу или внутреннюю энергию.

Приравнивать потенциальную энергию кинетической без указания состояний недостаточно. Нужно обозначить начальную и конечную точки, выбрать нулевой уровень и только затем составлять баланс.

Потенциальная энергия может быть отрицательной, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня. Отрицательное значение не означает запрет физического состояния: проверяйте не знак энергии, а разность энергий.

Не следует подставлять в закон сохранения энергии время или путь, если действуют только консервативные силы. Сначала сравните два состояния; путь понадобится лишь при расчёте работы неконсервативной силы, например трения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны теорема о кинетической энергии, понятия работы и мощности, а также формулы кинетической и потенциальной энергий. Они объясняют, почему работа силы меняет энергию движения.

Закон помогает решать задачи о свободном падении, наклонной плоскости, колебаниях и движении в гравитационном поле. Во многих случаях он заменяет подробное исследование ускорения и времени.

Дальше этот подход используется при изучении колебаний, движения тел в поле тяготения и общего закона сохранения энергии. В более широком законе учитываются не только механические, но и внутренние и другие виды энергии.

Что запомнить

• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Кинетическая энергия определяется движением тела, а потенциальная — его положением или деформацией.
• Нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно.
• При действии только консервативных сил полная механическая энергия сохраняется.
• При превращении потенциальной энергии в кинетическую их сумма остаётся постоянной.
• Сила трения уменьшает механическую энергию, превращая её во внутреннюю энергию.
• Для применения закона нужно сравнить начальное и конечное состояния системы.