§ 6.9. Изменение энергии системы под действием внешних сил

Определения и обозначения

Система тел — выбранная совокупность тел, для которой рассматривают общий запас энергии и его изменение. Например, это может быть один брусок или брусок вместе с Землёй. Выбор системы нужен, чтобы точно определить, для каких тел составляется энергетический баланс.

Внешние силы действуют на систему со стороны тел, не входящих в неё. Их работа может передавать энергию через границу системы. Поэтому, прежде чем учитывать работу силы, нужно выяснить, откуда она действует.

Внутренние силы — силы взаимодействия между телами внутри системы. Они могут изменить энергию отдельных тел и превратить один её вид в другой. Это понятие помогает отличать передачу энергии извне от её перераспределения внутри системы.

Механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергий её тел и взаимодействий. Кинетическая энергия связана с движением, а потенциальная — с взаимным расположением тел или деформацией. Она составляет лишь часть полной энергии, если учитываются нагрев и другие внутренние изменения.

Как это устроено

Внешней или внутренней силу делает не её название, а выбранная граница системы. Если рассматриваем только груз, Земля находится вне системы и сила тяжести внешняя. Если включить в систему и груз, и Землю, их гравитационное взаимодействие становится внутренним.

Теорема о кинетической энергии связывает изменение кинетической энергии с работой сил. Но часть работы внутренних сил может менять потенциальную энергию: например, при падении уменьшается потенциальная и увеличивается кинетическая энергия. Поэтому для системы учитывают не только движение, но и изменения других видов энергии.

Полный баланс записывают так: изменение полной энергии системы равно работе внешних сил, ΔE = Aвнеш, если энергия передаётся именно работой. Эта связь возникает потому, что работа описывает передачу энергии через границу системы. При положительной работе энергия поступает в систему, при отрицательной — уходит из неё.

Внутренние силы действуют между частями системы, поэтому могут менять их энергии по-разному. Например, трение тормозит движущийся брусок, а поверхности при этом нагреваются. Для системы, включающей брусок и поверхность, энергия не исчезает: механическая переходит во внутреннюю.

Изменение полной энергии не следует путать с изменением механической. При отсутствии трения и других потерь механическая энергия может изменяться за счёт работы внешних сил. Если трение есть, часть механической энергии превращается во внутреннюю, поэтому для механического баланса нужно учесть эту потерю, а для полного баланса — переход энергии внутри системы.

Изменение энергии системы и работа внешних сил

Сначала определите, какая именно система рассматривается, и только потом устанавливайте знак работы. Таблица описывает передачу энергии через её границу, а не все возможные превращения внутри системы. При внутреннем трении механическая энергия может уменьшиться и при нулевой работе внешних сил.

Разбор задач

Задача 1. Брусок массой m тянут по горизонтальной шероховатой поверхности силой F на расстояние s; коэффициент трения μ известен, начальная скорость равна нулю. Нужно найти конечную скорость. Считаем силу тяги постоянной и направленной вдоль движения.

1. Выберем брусок системой. Работа тяги равна Fs, а сила трения скольжения равна μmg и совершает работу −μmgs.
2. По теореме о кинетической энергии Fs − μmgs = ½mv², поскольку начальная кинетическая энергия равна нулю.
3. Выразим скорость: v = √(2Fs/m − 2μgs). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Ответ: v = √(2Fs/m − 2μgs). Работа трения здесь учтена как работа внешней силы для системы «брусок». Если включить поверхность, потери механической энергии можно описать как переход во внутреннюю энергию.

Задача 2. Груз массой m поднимают на высоту h; внешние силы совершают работу A. Найдите скорость груза, если вначале он покоился, или изменение потенциальной энергии для системы «груз—Земля». Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Включим в систему груз и Землю. Тогда потенциальная энергия взаимодействия увеличивается на mgh, а работа подъёмного устройства передаётся системе.
2. Запишем баланс: A = ΔK + ΔU, то есть A = ½mv² + mgh. Это соотношение показывает, как полученная энергия делится между движением и подъёмом.
3. Если требуется скорость, выразим её: v = √(2(A − mgh)/m). Если нужна потенциальная энергия, ответ ΔU = mgh.

Ответ: v = √(2(A − mgh)/m), если A ≥ mgh; изменение потенциальной энергии равно mgh. При равномерном подъёме скорость в начале и конце одинакова, поэтому работа внешнего воздействия целиком идёт на увеличение потенциальной энергии.

Задача 3. Тележка массой m проходит по наклонной плоскости расстояние s, соединена с пружиной жёсткости k и испытывает действие постоянной силы F. Известны коэффициент трения μ и изменение высоты Δh; начальная скорость v₀ и начальное растяжение пружины x₀ заданы. Найдите конечную скорость, если сила направлена вдоль движения.

1. Выберем систему «тележка—Земля—пружина». Работа внешней силы равна Fs, а трение совершает работу −μmg cos α · s, где α — угол наклона плоскости к горизонту.
2. Учтём изменения потенциальной энергии: гравитационной mgΔh и пружины ½k(x₁² − x₀²), где x₁ — конечное растяжение. Тогда Fs − μmg cos α · s = ½m(v² − v₀²) + mgΔh + ½k(x₁² − x₀²).
3. Перенесём известные слагаемые и выразим скорость: v = √(v₀² + (2/m)[Fs − μmg cos α · s − mgΔh − ½k(x₁² − x₀²)]).

Ответ задаётся полученным выражением, если величина под корнем неотрицательна. Работа силы и трения учитывает передачу энергии и потери, а изменения потенциальных энергий — подъём и деформацию пружины. Если внешняя сила или трение направлены иначе, знак их работы нужно изменить.

Типичные ошибки

Считать силу внешней или внутренней только по её названию — ошибка: классификация зависит от границы системы. Её допускают, когда начинают вычисления, не перечислив тела в системе. Проверьте себя: источник силы входит в выбранную систему или находится за её пределами?

Приравнивать работу любой силы только к изменению кинетической энергии неверно, если меняется потенциальная или внутренняя энергия. Так поступают, забывая, что работа может не только разгонять тело. Проверьте, учли ли вы подъём, пружину и нагрев от трения.

Утверждение, что внутренние силы не меняют энергию отдельных тел, смешивает энергию части системы с энергией всей системы. Внутреннее взаимодействие способно передать энергию от одного тела другому. Проверьте, о какой системе идёт речь и какие изменения происходят у её частей.

Записывать сохранение механической энергии при трении без поправки на потери нельзя. Причина ошибки — механическую энергию принимают за полную. Проверьте, куда переходит энергия трения: для полной системы она становится внутренней, а в механическом балансе её учитывают отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с энергетическим балансом нужны понятия работы и мощности, теорема о кинетической энергии, а также формулы кинетической и потенциальной энергии. Новая идея состоит в том, чтобы сначала выбрать систему тел и разделить силы на внешние и внутренние. Это связывает закон сохранения энергии с конкретной задачей и часто позволяет не решать уравнения движения по времени.

Тот же подход пригодится при изучении столкновений, связанных тел и колебаний: важно учитывать, куда передаётся энергия и какие превращения происходят. Понятие внутренней энергии также ведёт от механики к термодинамике. При трении этот переход виден особенно ясно: механическая энергия становится внутренней.

Что запомнить

• Сначала определите систему тел и её границы.
• Внешние силы передают энергию через границу системы.
• Положительная работа внешних сил увеличивает энергию системы.
• Отрицательная работа внешних сил уменьшает энергию системы.
• Внутренние силы могут превращать кинетическую энергию в потенциальную или внутреннюю.
• При трении механическая энергия уменьшается, но полная энергия сохраняется.
• Энергетический баланс составляйте для точно выбранной системы.