§ 6.10. Столкновение упругих шаров

Определения и обозначения

Упругое столкновение — взаимодействие тел, при котором сохраняются суммарные импульс и кинетическая энергия. Это означает, что после удара энергия движения не превращается необратимо во внутреннюю энергию. Поэтому двух законов сохранения достаточно, чтобы найти неизвестные скорости.

Центральное столкновение — столкновение, при котором скорости шаров до удара направлены вдоль линии, соединяющей их центры. Движение в таком случае можно описывать одной координатной осью. Это упрощает векторные уравнения до обычных алгебраических равенств.

Линия центров — прямая, соединяющая центры шаров в момент соприкосновения. Для гладких шаров импульс силы удара направлен вдоль этой прямой. Она нужна, чтобы понять, какие составляющие скоростей изменятся при столкновении.

Лобовое столкновение — частный случай центрального столкновения, при котором шары движутся навстречу друг другу по одной прямой. В таком ударе нет бокового движения относительно линии центров. Для шаров одинаковой массы результатом становится обмен скоростями.

Как это устроено

Столкновение длится очень недолго, поэтому за это время внешние силы обычно не успевают заметно изменить импульс системы. Внутренние силы, действующие шарами друг на друга, равны по третьему закону Ньютона и направлены противоположно. Их импульсы взаимно уничтожаются, поэтому сохраняется сумма импульсов: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.

При упругом ударе деформация шаров обратима, поэтому энергия движения возвращается шарам после сжатия и разжатия. Значит, сохраняется и кинетическая энергия: ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂². Совместное решение этого уравнения с законом сохранения импульса даёт скорости после удара.

При центральном столкновении все скорости лежат на одной прямой, поэтому удобно выбрать её за ось. Направление движения по оси считают положительным, а противоположное направление обозначают отрицательными скоростями. Для масс m₁ и m₂ скорости после удара выражаются так: v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂), v₂ = (2m₁u₁ + (m₂ − m₁)u₂)/(m₁ + m₂).

При косом ударе гладких шаров сила взаимодействия не имеет поперечной составляющей, потому что трением пренебрегают. Поэтому импульс удара меняет только компоненты скоростей вдоль линии центров. Перпендикулярные компоненты каждого шара до и после столкновения одинаковы, а продольные нужно найти по формулам центрального удара.

Если массы шаров одинаковы, то в формулах для центрального удара коэффициенты упрощаются. Получается v₁ = u₂ и v₂ = u₁, то есть шары обмениваются скоростями. Такой результат связан одновременно с сохранением импульса и энергии, а не с простым равенством сил во время удара.

Сравнение центрального и косого столкновения гладких шаров

Сначала определите геометрию удара: совпадает ли направление движения с линией центров. Затем выберите ось по этой линии и отделите продольные составляющие от поперечных. Таблица помогает не менять поперечную составляющую при ударе гладких шаров и не применять обмен скоростями вне подходящих условий.

Разбор задач

Задача 1. Столкновение шаров разных масс

Два шара массами m₁ и m₂ движутся навстречу друг другу со скоростями u₁ и u₂. Требуется найти их скорости после абсолютно упругого центрального удара. Направление оси выберем по движению первого шара, поэтому u₂ будет отрицательной величиной.

1. Записываем сохранение импульса: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.
2. Добавляем сохранение энергии: ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂².
3. Решаем систему и получаем v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂), v₂ = (2m₁u₁ + (m₂ − m₁)u₂)/(m₁ + m₂).

Ответ: скорости после удара задаются двумя последними формулами с учётом знаков. Если результат положителен, шар движется по выбранной оси, если отрицателен — в обратную сторону. Проверка состоит в подстановке найденных значений в оба закона сохранения.

Задача 2. Равные массы

Шар массой m движется со скоростью v и лобово сталкивается с покоящимся шаром такой же массы. Нужно определить скорости после упругого удара. Выберем положительным направление движения первого шара, тогда u₁ = v, u₂ = 0.

1. Подставляем m₁ = m₂ = m в формулы центрального столкновения.
2. Получаем v₁ = ((m − m)v + 2m · 0)/(2m) = 0.
3. Для второго шара v₂ = (2m · v + (m − m) · 0)/(2m) = v.

Ответ: первый шар остановится, а второй начнёт двигаться со скоростью v. Импульс до и после равен mv, и кинетическая энергия в обоих случаях равна ½mv². Это частный результат обмена скоростями.

Задача 3. Косой удар

Движущийся гладкий шар имеет массу m₁ и скорость u, а второй шар массы m₂ покоится. Известно направление линии центров в момент удара. Обозначим угол между скоростью первого шара и линией центров через α.

1. Разлагаем скорость: u₁∥ = u cos α, u₁⊥ = u sin α; у покоящегося шара обе составляющие равны нулю.
2. Для продольных составляющих применяем формулы центрального удара, получая v₁∥ и v₂∥.
3. Поперечные составляющие не меняются: v₁⊥ = u sin α, v₂⊥ = 0. Затем скорости находят по формулам v₁ = √(v₁∥² + v₁⊥²) и v₂ = |v₂∥|.

Ответ: сначала вычисляются новые составляющие вдоль линии центров, а затем они объединяются с неизменной поперечной составляющей. Направление первого шара после удара находят по отношению его составляющих. Такой способ работает именно для гладких шаров и упругого удара.

Типичные ошибки

Сохранение скорости каждого шара. При упругом столкновении сохраняются не отдельные скорости, а суммарные импульс и кинетическая энергия системы. Ошибка возникает из-за смешения свойств всей системы и одного тела. Проверьте, записали ли вы два закона сохранения для конечных скоростей.

Игнорирование направления движения. Скорость — величина со знаком после выбора оси, поэтому встречные движения нельзя подставлять как два положительных числа. Ошибку часто замечают только после получения невозможного результата. Нарисуйте ось и поставьте минус у скорости, направленной против неё.

Изменение обеих составляющих при косом ударе. У гладких шаров импульс взаимодействия направлен по линии центров, поэтому поперечная составляющая не получает импульса. Её меняют ошибочно, представляя удар как действие во всех направлениях. Проверьте, что поперечные компоненты до и после удара совпадают.

Обмен скоростями без проверки условий. Это правило верно для лобового упругого удара шаров одинаковой массы. Для разных масс или косого столкновения оно обычно неверно. Сначала установите тип удара и сравните массы, а затем применяйте частный результат.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон сохранения импульса, формула кинетической энергии и правила проецирования векторов на ось. Без выбора оси невозможно правильно учесть встречные направления движения. Разложение скорости на составляющие связывает эту тему с векторной алгеброй.

Модель столкновения помогает изучать удары тел, отдачу и взаимодействие частиц. Те же идеи применяются при анализе упругих отбойников, спортивных мячей и некоторых процессов в микромире. В каждом случае нужно проверить, можно ли считать удар упругим и пренебречь внешним импульсом.

Что запомнить

• При упругом столкновении сохраняются импульс системы и её кинетическая энергия.
• В расчётах центрального удара скорости удобно считать алгебраическими величинами с выбранными знаками.
• При ударе гладких шаров импульс взаимодействия направлен по линии центров.
• При косом ударе меняются продольные составляющие скоростей; поперечные составляющие сохраняются.
• При лобовом упругом столкновении равных масс шары обмениваются скоростями.