§ 6.11. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения

Определения и обозначения

Механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергий всех тел системы: Eмех = Eк + Eп. Она зависит от масс и скоростей тел, их положения и выбранного уровня отсчёта потенциальной энергии. Это понятие позволяет описывать движение через переход энергии, а не только через силы.

Силы трения — силы взаимодействия соприкасающихся тел, направленные против их относительного движения или возможного направления такого движения. При скольжении их модуль часто находят по формуле Fтр = μN. Именно эти силы связывают механическое движение с нагреванием поверхностей.

Диссипативные силы — силы, при действии которых механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию системы. Трение называют диссипативным, потому что самопроизвольное обратное превращение выделившегося тепла в движение не происходит. Термин помогает отличать трение от консервативных сил, например силы тяжести.

Внутренняя энергия — энергия движения и взаимодействия частиц тела. При трении она увеличивается из-за нагревания, микродеформаций и разрушения неровностей поверхностей. Учёт внутренней энергии показывает, куда направляется механическая энергия, которая перестала проявляться в движении.

Как это устроено

Изменение механической энергии связывают с работой сил, потому что работа показывает передачу энергии при перемещении тела. Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей силы. Потенциальную энергию вводят для консервативных сил, поэтому их работу можно заменить изменением потенциальной энергии и рассматривать изменение всей механической энергии.

При скольжении сила трения направлена противоположно перемещению точки приложения силы. Поэтому угол между силой и перемещением близок к 180°, а работа Aтр = Fтрs cos 180° = −Fтрs. Отрицательная работа означает, что механическая энергия тела уменьшается, если нет другого источника энергии, компенсирующего действие трения.

Потерянная механическая энергия не исчезает, а передаётся частицам соприкасающихся тел. Неровности поверхностей деформируются и разрушаются, часть энергии превращается в хаотическое движение частиц, поэтому тела нагреваются. Процесс необратим: после остановки тела могут остыть, но сами по себе не восстановят прежнюю скорость.

Для выбранной системы изменение механической энергии можно записать как ΔEмех = Aвнешн + Aтр, где Aвнешн — работа внешних сил, не относящихся к консервативным силам, а Aтр — работа сил трения. Если оба трущихся тела включены в систему, трение становится внутренним процессом и при отсутствии внешнего энергообмена выполняется ΔEмех + ΔU = 0. Если включено только одно тело, работа трения записывается как внешняя и непосредственно уменьшает его механическую энергию.

Изменение механической энергии при действии сил трения

Сначала определите, какие тела входят в систему, а затем установите, является ли трение внешним или внутренним. После этого сравните работы всех сил и отдельно учтите изменение потенциальной энергии. Таблица особенно полезна для проверки знаков и выбора правильного энергетического уравнения.

Разбор задач

1. Брусок на горизонтальной поверхности

Условие: брусок массой m скользит по горизонтальной шероховатой поверхности на расстояние s; коэффициент трения равен μ. Найти уменьшение механической энергии и количество теплоты.

1. На горизонтали N = mg, поэтому сила трения равна Fтр = μmg.
2. Работа трения направлена против движения: Aтр = −Fтрs = −μmgs.
3. Уменьшение механической энергии равно модулю этой работы: ΔEум = μmgs. Если в систему включить брусок и поверхность, выделившаяся теплота Q = μmgs.

Ответ: механическая энергия бруска уменьшилась на μmgs, а внутренняя энергия соприкасающихся тел увеличилась на Q = μmgs.

2. Движение вверх по наклонной плоскости

Условие: тело с начальной скоростью v₀ движется вверх по наклонной плоскости с углом α и трением; требуется найти максимальную высоту подъёма или скорость в заданной точке.

1. Выберите начальную и конечную точки и запишите Eмех,0 = ½mv₀², если начальную потенциальную энергию принять за ноль.
2. При подъёме на высоту h потенциальная энергия увеличивается на mgh, а работа трения равна Aтр = −μmg cos α · l, где l — пройденный путь.
3. Используйте ½mv₀² + Aтр = mgh + ½mv². Для максимальной высоты положите v = 0 и свяжите путь с высотой: h = l sin α.

Ответ: искомую высоту или скорость находят из уравнения энергии, обязательно сохраняя отрицательный знак работы трения.

3. Два взаимодействующих тела

Условие: два тела движутся и взаимодействуют через шероховатую поверхность или нить; нужно определить конечные скорости и количество теплоты.

1. Включите оба тела в систему: тогда силы их взаимодействия не нужно считать внешними.
2. Запишите сумму начальной механической энергии и работы внешних сил, если они есть, равной конечной механической энергии плюс Q.
3. Найдите неизвестную скорость из этого уравнения, а затем вычислите Q как разность начальной и конечной механических энергий с учётом внешней работы.

Ответ: выбор общей системы позволяет не потерять энергию взаимодействия: уменьшение механической энергии равно количеству теплоты при отсутствии внешнего энергообмена.

Типичные ошибки

Полное сохранение механической энергии при трении. Так ошибаются, применяя закон сохранения энергии без внутренней энергии. Проверьте, есть ли в условии нагревание или трение, и добавьте Q в энергетический баланс.

Положительная работа трения при обычном скольжении. Ошибка возникает, когда учитывают только модуль силы и забывают о направлении. Сравните направление силы с перемещением: при противоположных направлениях Aтр < 0.

Представление об исчезновении энергии. Уменьшение механической энергии иногда принимают за потерю полной энергии. Проверьте результат по смыслу: должна увеличиться внутренняя энергия тел, обычно на величину выделившейся теплоты.

Неопределённые границы системы. Из-за этого внутреннюю силу смешивают с внешней и получают неверное уравнение. Перед решением перечислите тела системы и подпишите, какие силы для неё внешние.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны кинетическая и потенциальная энергия, работа силы, теорема об изменении кинетической энергии и закон сохранения энергии. Она связана с законом сохранения импульса и движением по наклонной плоскости: в одной задаче могут понадобиться оба закона. Позже эти представления помогут изучать термодинамику, необратимые процессы, коэффициент полезного действия и энергетические потери в технике.

Что запомнить

• Силы трения являются диссипативными силами.
• При обычном скольжении работа силы трения отрицательна.
• Механическая энергия уменьшается, но полная энергия системы сохраняется.
• Потеря механической энергии переходит главным образом во внутреннюю энергию.
• Результат зависит от того, какие тела включены в систему.
• Изменение механической энергии равно суммарной работе сил, изменяющих её.
• Для решения задач нужно учитывать знак работы трения и изменение потенциальной энергии.