"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Механическая энергия описывает движение тел и их взаимодействие: она складывается из кинетической и потенциальной. Это понятие помогает находить скорость и высоту тела, даже если движение происходит по сложной траектории. Если на систему действуют только силы, для которых работа не зависит от пути, механическая энергия сохраняется: потенциальная энергия может переходить в кинетическую и обратно. При трении механическая энергия изменяется, и это изменение учитывают через работу силы трения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия движения тела; она определяется формулой Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем больше масса или скорость тела, тем больше его кинетическая энергия. Эта величина позволяет связать движение тела с работой сил, которая способна изменить его скорость.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, значение которой отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня. Она зависит от расположения взаимодействующих объектов, а не только от одного тела отдельно. Выбор нуля нужен, чтобы численно выразить энергию; при расчётах переходов обычно важна разность значений.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Eмех = Eк + Eп. Она объединяет энергию движения и энергию взаимодействия в одной величине. Такое представление удобно, когда тела движутся, меняя высоту или деформируя упругие тела.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если на замкнутую систему действуют только консервативные силы, её полная механическая энергия остаётся постоянной. Консервативными называют силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями, а не пройденным путём. Закон помогает находить неизвестную скорость или положение без подробного описания движения на каждом участке.
Связь движения с энергией следует из теоремы о кинетической энергии: работа равнодействующей сил равна изменению кинетической энергии тела. Для тела массой m, которое разгоняется из состояния покоя до скорости v постоянной силой, работа равна произведению силы на путь. Подставляя связь ускорения с изменением скорости и используя формулу движения при постоянном ускорении, получаем работу mv²/2. Именно эта величина характеризует способность движущегося тела совершать работу, поэтому её называют кинетической энергией.
Потенциальная энергия появляется, когда взаимодействующие тела могут совершить работу за счёт изменения взаимного положения. Например, поднятое тело может упасть, а растянутая пружина — сжаться и привести в движение другой предмет. Ноль потенциальной энергии выбирают условно, потому что добавление одной и той же постоянной ко всем значениям не меняет разности энергий. Поскольку работа консервативной силы связана именно с этой разностью, выбор нулевого уровня не меняет физический результат.
Вблизи поверхности Земли изменение высоты тела на h меняет его потенциальную энергию на mgh, где g — ускорение свободного падения. Если нулём выбран уровень отсчёта, то Eп = mgh; при другом выборе могут измениться численные значения, но не разность. Для пружины потенциальная энергия упругой деформации равна Eупр = kx²/2, где k — жёсткость, а x — удлинение или сжатие относительно недеформированного состояния. Квадрат деформации показывает, что при одинаковом сжатии и растяжении энергия имеет одинаковое значение.
Когда тело падает без сопротивления воздуха, сила тяжести уменьшает потенциальную энергию и одновременно увеличивает кинетическую. Работа силы тяжести не зависит от траектории, поэтому сумма Eк + Eп остаётся прежней. Так, если тело начинает падать из состояния покоя, потеря mgh превращается в приобретённую кинетическую энергию. Энергия не пропадает: меняется её форма внутри механической энергии системы.
Сила трения и сопротивление воздуха обычно неконсервативны: их работа зависит от пройденного пути и превращает часть механической энергии во внутреннюю энергию тел и окружающей среды. Поэтому начальная и конечная механические энергии уже не равны. Их изменение рассчитывают как Eмех,2 − Eмех,1 = Aнеконс, где Aнеконс — суммарная работа неконсервативных сил. Работа трения обычно отрицательна, поэтому при движении с трением механическая энергия уменьшается.
| Величина | Обозначение и формула | От чего зависит | Единица СИ | Условие применения |
|---|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Масса и скорость тела | Джоуль (Дж) | Для тела, движущегося относительно выбранной системы отсчёта |
| Потенциальная энергия в поле тяжести | Eп = mgh | Масса, ускорение свободного падения, высота относительно нуля | Джоуль (Дж) | Вблизи поверхности Земли, при выбранном уровне отсчёта |
| Потенциальная энергия упругой деформации | Eупр = kx²/2 | Жёсткость пружины и величина деформации | Джоуль (Дж) | Для упругой пружины при деформации |
| Механическая энергия системы | Eмех = Eк + Eп | Движение и взаимное положение тел системы | Джоуль (Дж) | Для системы с определёнными границами и составом |
| Сохранение механической энергии | Eмех,1 = Eмех,2 | Начальное и конечное состояния системы | Джоуль (Дж) | Если действуют только консервативные силы |
| Изменение механической энергии при наличии трения | Eмех,2 − Eмех,1 = Aнеконс | Работа трения и других неконсервативных сил | Джоуль (Дж) | Когда такие силы действуют на систему |
Сначала выберите систему и нулевой уровень потенциальной энергии, затем подставляйте величины, относящиеся именно к этой системе. Если трения нет и других неконсервативных сил тоже нет, используйте равенство начальной и конечной механических энергий. При трении запишите энергетический баланс с работой неконсервативных сил, не забывая учитывать её знак.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 6 м/с. Требуется найти его кинетическую энергию. Здесь известны обе величины, входящие в формулу, поэтому достаточно подставить их в выражение Eк = mv²/2. Перед вычислением возведём скорость в квадрат, а затем проверим размерность результата.
Ответ: кинетическая энергия тела равна 36 Дж. Масса и скорость подставлены в единицах СИ, а деление на два выполнено после возведения скорости в квадрат. Полученное значение положительно, как и должна быть кинетическая энергия.
Камень массой 0,5 кг падает с высоты 20 м без сопротивления воздуха; нужно найти скорость перед ударом о землю. Выберем уровень земли за нулевой для потенциальной энергии и примем, что в начале падения камень покоился. Поскольку действует только сила тяжести, начальная потенциальная энергия переходит в конечную кинетическую.
Ответ: скорость перед ударом примерно 20 м/с. Масса сократилась, поэтому при одинаковой высоте падения скорость не зависит от массы камня в этой модели. Сопротивление воздуха не учитывается, поэтому вся потеря потенциальной энергии становится кинетической.
Брусок массой 2 кг соскальзывает с высоты 1,5 м, начиная из состояния покоя, и у основания движется со скоростью 4 м/с. Требуется определить работу силы трения. Выберем основание плоскости за нулевой уровень: начальная энергия равна mgh, а конечная — mv²/2. Для работы трения используем изменение механической энергии, поскольку других неконсервативных сил по условию не учитываем.
Ответ: работа силы трения равна −13,4 Дж. Отрицательное значение означает, что трение уменьшило механическую энергию бруска на 13,4 Дж. Если в задаче требуется только модуль работы, он равен 13,4 Дж.
Потенциальную энергию иногда считают абсолютной и не указывают, где она равна нулю. Так происходит потому, что в формулах привычно видеть конкретное значение, хотя отсчёт условен; проверяйте, задан ли уровень и одинаково ли он используется в начальном и конечном состояниях. Важны изменения энергии, а не произвольно выбранный ноль.
Нельзя без оговорок применять сохранение механической энергии при трении или сопротивлении воздуха. Ошибка возникает, когда в задаче замечают превращение одной энергии в другую, но забывают о работе неконсервативных сил. Проверьте условие: если такие силы действуют, добавьте их работу в баланс.
В формуле Eк = mv²/2 скорость возводится в квадрат, а не умножается на массу один раз. Из-за пропуска квадрата можно неверно оценить влияние изменения скорости; подстановка скорости, увеличенной вдвое, должна дать энергию в четыре раза больше. Проверяйте степень и единицы: в результате должны получиться джоули.
Ещё одна ошибка — складывать кинетическую энергию одного тела с потенциальной энергией, относящейся к другой системе. Её допускают, не уточнив границы системы и то, какие тела взаимодействуют; например, потенциальная энергия тяжести относится к взаимодействию тела с Землёй. Перед составлением баланса перечислите объекты системы и убедитесь, что все учитываемые энергии относятся к ней.
Для вывода формулы кинетической энергии и решения задач нужны понятия работы силы, мощности и теорема о кинетической энергии. В задачах о падении и скольжении также помогают формулы движения с постоянным ускорением, хотя при сохранении энергии часто можно обойтись без времени движения. Закон сохранения механической энергии пригодится при анализе падения тел, движения по наклонной плоскости и работы пружин. Позже энергетический подход применяют при изучении колебаний, движения в гравитационных полях и молекулярной физики.
Почему потенциальную энергию можно выбрать равной нулю на любой высоте?
Потенциальная энергия определяется относительно выбранного нулевого уровня, поэтому этот уровень можно назначить произвольно. Физический смысл имеют разности потенциальных энергий: они не зависят от выбора нуля.
Сохраняется ли механическая энергия при падении тела с сопротивлением воздуха?
Нет, если рассматривать только механическую энергию падающего тела: сопротивление воздуха — неконсервативная сила, и механическая энергия уменьшается. Часть её переходит во внутреннюю энергию воздуха и тела.
Почему при увеличении скорости в два раза кинетическая энергия возрастает в четыре раза?
В формуле Eк = mv²/2 скорость стоит в квадрате. Поэтому при замене v на 2v энергия умножается на 2², то есть на четыре.
Можно ли применять закон сохранения энергии, если действует сила трения?
Можно использовать энергетический баланс, но нельзя считать механическую энергию неизменной без поправки. Её изменение равно работе силы трения и других неконсервативных сил.
Чем механическая энергия отличается от полной энергии системы?
Механическая энергия включает кинетическую и потенциальную энергии, связанные с движением и взаимодействием тел. Полная энергия учитывает также внутреннюю энергию и другие виды энергии системы.
1. Механическая энергия и закон сохранения энергии в механике
