"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного расположения. Она помогает описывать подъём тела, растяжение пружины и превращение энергии при движении. Значение энергии отсчитывают от выбранного нулевого уровня. Для тела у поверхности Земли используют формулу Eп = mgh, а для упругой деформации — Eп = kx²/2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного расположения. Например, поднятое тело взаимодействует с Землёй, а растянутая пружина — со своим грузом. Это понятие позволяет описывать запас энергии, который может перейти в движение.
Нулевой уровень потенциальной энергии — положение, относительно которого потенциальную энергию принимают равной нулю. Его выбирают удобно для конкретной задачи: например, пол или поверхность Земли. Такой выбор задаёт начало отсчёта, но не меняет физических результатов.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести зависит от массы тела, ускорения свободного падения и высоты над нулевым уровнем: Eп = mgh. Чем тяжелее тело и чем выше оно находится, тем больше его энергия. Формула справедлива вблизи поверхности Земли, где g можно считать постоянным.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела связана с растяжением или сжатием тела. Для пружины она равна Eп = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — величина деформации. Энергия не зависит от направления деформации, потому что в формуле стоит квадрат x.
Сила тяжести и сила упругости относятся к консервативным силам: их работа определяется начальным и конечным положениями, а не формой пути. Поэтому можно ввести потенциальную энергию так, чтобы работа силы была равна её убыли: A = −ΔEп. Если сила совершает положительную работу, потенциальная энергия уменьшается; если отрицательную — возрастает.
Нулевой уровень выбирают произвольно, потому что физически измеряется не сама «отсчётная» энергия, а её изменение. При переносе нулевого уровня все значения Eп получают одну и ту же добавку. В разности Eп₂ − Eп₁ эта добавка сокращается, поэтому изменение энергии и работа силы не зависят от выбора начала отсчёта.
Поднимем тело массой m вертикально на высоту h. Сила тяжести направлена вниз, а перемещение вверх, поэтому работа тяжести равна Aтяж = −mgh. По связи Aтяж = −ΔEп при выборе нулевой энергии в нижней точке получаем Eп = mgh. Здесь h — вертикальная высота тела над выбранным уровнем, а не длина траектории.
При растяжении пружины сила упругости изменяется по закону Гука: F = kx. Средняя сила при увеличении деформации от нуля до x равна kx/2, поэтому работа внешней силы по растяжению составляет (kx/2)·x = kx²/2. Эта работа запасается как потенциальная энергия пружины; множитель 1/2 появляется именно из-за непостоянства силы.
При падении тела его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает. Если сопротивлением воздуха пренебречь, уменьшение Eп полностью превращается в прирост кинетической энергии. При колебаниях груза на пружине энергия попеременно переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, тогда как их сумма остаётся постоянной.
Таблица помогает быстро выбрать нужную формулу и понять, какие величины нужно найти. В строке об изменении энергии знак показывает, увеличилась она или уменьшилась. При решении задачи сначала определите случай и нулевой уровень, затем подставляйте данные.
| Случай | Формула | От чего зависит | Выбор нулевого уровня |
|---|---|---|---|
| Тело вблизи поверхности Земли | Eп = mgh | Масса, g и высота h | Любой удобный горизонтальный уровень |
| Упруго деформированное тело | Eп = kx²/2 | Жёсткость k и деформация x | Обычно недеформированное состояние |
| Изменение потенциальной энергии | ΔEп = Eп₂ − Eп₁ | Начальное и конечное положения | От выбора не зависит |
| Связь работы силы с изменением энергии | A = −ΔEп | Перемещение и консервативная сила | На результат работы не влияет |
Условие: тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м над полом. Найдём потенциальную энергию относительно пола при g = 10 м/с². Пол сразу выбираем нулевым уровнем, поэтому высота отсчитывается от него.
Ответ: Eп = 60 Дж.
Условие: пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,1 м. Требуется найти запасённую энергию. Все величины уже выражены в СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.
Ответ: запасённая энергия равна 1 Дж.
Условие: тело падает с высоты 5 м без начальной скорости. Нужно найти скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Удобно сравнить верхнюю и нижнюю точки по закону сохранения механической энергии.
Ответ: скорость перед ударом равна 10 м/с.
Считать потенциальную энергию абсолютной. Ошибка возникает, когда забывают указать нулевой уровень и воспринимают число Eп как единственное возможное. Проверьте решение: должно быть понятно, относительно какого положения измеряется энергия.
Путать высоту h с длиной пути. При движении по наклонной траектории тело может пройти длинный путь, но в формуле mgh учитывается только изменение вертикальной высоты. Для проверки сравните начальный и конечный уровни по вертикали.
Записывать энергию пружины как kx². Так теряют множитель 1/2, потому что сила упругости меняется от нуля до kx. Проверьте формулу по работе: площадь треугольника на графике F(x) равна kx²/2.
Считать работу тяжести положительной при подъёме. Перемещение вверх направлено против силы тяжести, поэтому её работа отрицательна, а потенциальная энергия растёт. При падении направления совпадают, и работа тяжести положительна.
До изучения темы нужны понятия работы силы и кинетической энергии, а также закон Гука для пружины и общий закон сохранения энергии. Потенциальная энергия объединяет эти знания в описании механического движения.
Дальше она используется при изучении закона сохранения механической энергии, колебаний и движения тел в гравитационном поле. С её помощью многие задачи решаются без подробного анализа сил на каждом участке пути.
Почему потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня?
Потенциальную энергию измеряют относительно положения, которому условно приписывают значение ноль. Если изменить это положение, все значения энергии изменятся на одну и ту же величину, но разность энергий между двумя точками останется прежней.
Может ли потенциальная энергия быть отрицательной?
Да, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня, его энергия в поле тяжести может быть отрицательной. Это не означает, что у тела «меньше энергии, чем ничего»: отрицательно только выбранное значение отсчёта.
Как определить высоту в формуле mgh?
Высота h — это расстояние по вертикали от тела до выбранного нулевого уровня. В задачах нужно учитывать не длину пройденного пути, а именно вертикальное положение тела.
Почему в формуле энергии пружины есть множитель 1/2?
При растяжении пружины сила упругости не постоянна: она возрастает от нуля до kx. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком силы, то есть ½kx², а не kx².
Как связаны работа силы тяжести и изменение потенциальной энергии?
Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: Aтяж = −ΔEп. При падении работа положительна, а потенциальная энергия уменьшается; при подъёме работа отрицательна, а энергия возрастает.
2. Потенциальная энергия
