§ 39. Законы гидро- и аэростатика

Определения и обозначения

Гидростатика — раздел механики, изучающий равновесие жидкостей и действующие в них силы. Она нужна, чтобы рассчитывать давление воды, работу гидравлических устройств и условия плавания тел. Слово «гидро» связано с жидкостью.

Аэростатика — раздел механики, изучающий равновесие газов, прежде всего воздуха. С её помощью объясняют атмосферное давление, работу барометра и подъём воздушного шара. В газах, как и в жидкостях, давление связано с весом среды.

Гидростатическое давление — давление, создаваемое столбом жидкости. Без учёта давления над поверхностью оно вычисляется по формуле p = ρgh, где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, h — глубина. Формула показывает, от каких величин зависит давление.

Архимедова сила — выталкивающая сила, действующая на погружённое в жидкость или газ тело и равная весу вытесненной среды. Она направлена вертикально вверх. Эта сила позволяет определить, будет ли тело всплывать, плавать или погружаться.

Как это устроено

Покоящаяся жидкость давит на дно и стенки, потому что каждый её слой имеет вес. На глубине h над выбранной площадкой находится столб жидкости высотой h, поэтому его вес равен ρShg. Деление этой силы на площадь S даёт давление p = ρgh: площадь сокращается, и масса всей жидкости в сосуде сама по себе не входит в формулу.

Жидкость почти несжимаема, поэтому внешнее воздействие не сосредотачивается только под местом нажатия. Давление передаётся соседним слоям и действует на стенки во всех направлениях, перпендикулярно каждой поверхности. Так формулируется закон Паскаля, на котором основана работа гидравлического пресса: p₁ = p₂, или F₁/S₁ = F₂/S₂.

Сообщающиеся сосуды соединены так, что жидкость может переходить из одной части в другую. Если уровни различаются, давление у соединения со стороны более высокого столба больше, и жидкость течёт к стороне с меньшим давлением. В равновесии для одной и той же жидкости уровни становятся одинаковыми, потому что плотность и g одинаковы.

На нижнюю часть погружённого тела жидкость давит сильнее, чем на верхнюю: нижняя поверхность находится глубже. Разность этих вертикальных сил направлена вверх и равна весу вытесненной жидкости: Fₐ = ρжgVпогр. Сравнение Fₐ с силой тяжести mg объясняет движение тела: при Fₐ > mg оно всплывает, при Fₐ = mg находится в равновесии, а при Fₐ < mg погружается.

Атмосферное давление возникает потому, что воздух имеет массу и его столб давит на поверхность Земли. На большой высоте над точкой находится меньший столб воздуха, поэтому давление уменьшается. У поверхности Земли при нормальных условиях оно приблизительно равно 101 кПа, но меняется из-за высоты и состояния атмосферы.

Основные законы гидро- и аэростатики

В таблице сначала находите нужное явление, затем сравнивайте его проявление в жидкости и газе. Для расчётов обращайте внимание, указано ли избыточное давление ρgh или полное давление вместе с атмосферным. В задачах на плавание отдельно проверяйте направление сил и объём вытесненной среды.

Разбор задач

Давление воды на глубине

Условие: определить давление воды на глубине 5 м, если ρ = 1000 кг/м³, атмосферное давление не учитывать. Искомое давление создаётся только столбом воды, поэтому используется гидростатическая формула.

1. Записываем данные: ρ = 1000 кг/м³, h = 5 м, g ≈ 10 Н/кг.
2. Подставляем их в формулу: p = ρgh = 1000 · 10 · 5 Па.
3. Получаем p = 50 000 Па = 50 кПа.

Ответ: давление воды равно 50 кПа. Если бы требовалось полное давление, к этому значению добавили бы атмосферное давление.

Гидравлический пресс

Условие: площади поршней равны 5 см² и 200 см², груз действует с силой 4000 Н. Нужно найти силу на малом поршне. По закону Паскаля давления под поршнями одинаковы.

1. Записываем равенство: F₁/S₁ = F₂/S₂.
2. Выражаем малую силу: F₁ = F₂S₁/S₂.
3. Подставляем: F₁ = 4000 · 5/200 Н = 100 Н.

Ответ: к малому поршню нужно приложить силу 100 Н. Единицы площади можно не переводить в квадратные метры, поскольку в отношении они сокращаются.

Погружённое тело

Условие: тело объёмом 0,02 м³ и массой 15 кг полностью находится в воде. Требуется найти архимедову силу и определить движение тела. Берём ρводы = 1000 кг/м³ и g ≈ 10 Н/кг.

1. Так как тело полностью погружено, объём вытесненной воды равен 0,02 м³.
2. Вычисляем выталкивающую силу: Fₐ = ρgV = 1000 · 10 · 0,02 Н = 200 Н.
3. Сила тяжести тела равна mg = 15 · 10 Н = 150 Н. Поскольку 200 Н > 150 Н, тело начнёт всплывать.

Ответ: архимедова сила равна 200 Н, тело всплывает. После выхода части тела из воды вытесненный объём уменьшится, и при равенстве сил тело будет плавать.

Типичные ошибки

Зависимость только от массы жидкости. Ошибка возникает, когда забывают, что давление определяется не всей жидкостью, а столбом над выбранной точкой. Проверяйте формулу p = ρgh и сравнивайте плотность, глубину и значение g.

Путаница давления и силы. Давление показывает силу, приходящуюся на единицу площади, а сила давления равна произведению давления на площадь: F = pS. Если в условии меняется площадь поверхности, обязательно решите, требуется давление или сила.

Неверное направление архимедовой силы. Её иногда направляют туда, куда движется тело, но причина силы — разность давлений снизу и сверху. Проверьте рисунок сил: архимедова сила всегда направлена вертикально вверх.

Неправильное сравнение плотностей. Одной фразы «тело тяжелее воды» недостаточно: нужно учитывать массу, объём и степень погружения. Сначала сравните Fₐ и mg, а для полностью погружённого тела можно дополнительно сравнить плотности тела и жидкости.

Связь с другими темами

• До изучения темы нужны понятия силы тяжести, плотности, давления, массы, объёма и равновесия сил. Без них трудно вывести формулу p = ρgh и сравнить действующие силы.
• Дальше эти знания применяются при изучении движения жидкостей и газов, работы насосов, плавания судов и полёта воздушных шаров. Статика помогает понять условия, при которых система сохраняет равновесие.
• В быту и технике законы проявляются в гидравлических машинах, барометрах, манометрах и водопроводах. По ним рассчитывают давление на стенки труб и высоту подъёма жидкости.

Что запомнить

• Давление покоящейся жидкости увеличивается с глубиной.
• Гидростатическое давление определяется формулой p = ρgh.
• Давление жидкости и газа передаётся во все стороны.
• На погружённое тело действует архимедова сила, равная весу вытесненной среды.
• Тело всплывает, если архимедова сила больше силы тяжести.
• Тело плавает в равновесии, если архимедова сила равна силе тяжести.
• Атмосферное давление создаётся весом столба воздуха.