"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Объединённый газовый закон описывает, как связаны давление, объём и абсолютная температура неизменной массы идеального газа. Он позволяет находить один параметр, если известны остальные, при переходе газа из одного состояния в другое. Более общий результат — уравнение состояния идеального газа pV = νRT, где учитывается количество вещества. Эти формулы применяют при расчётах для сосудов, баллонов и поршневых установок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Это не настоящий газ, а удобное приближение, достаточно точное при небольших давлениях и не слишком низких температурах. Модель позволяет описывать газ простыми формулами.
Объединённый газовый закон связывает давление p, объём V и абсолютную температуру T данной массы газа: pV/T = const. Он показывает, как изменяются параметры при переходе газа из одного состояния в другое. С его помощью можно найти неизвестный параметр, если известны начальное и конечное состояния.
Уравнение состояния идеального газа имеет вид pV = νRT. В нём ν — количество вещества, то есть число молей газа, а остальные буквы обозначают давление, объём и температуру. Формула позволяет рассчитывать абсолютные параметры состояния, а не только сравнивать два состояния.
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К). Она одинакова для всех идеальных газов и связывает макроскопические параметры газа с количеством вещества. Единица Дж/(моль·К) согласует единицы давления, объёма, количества вещества и температуры в уравнении состояния.
Состояние данной массы газа можно описать тремя параметрами: давлением, объёмом и температурой. Давление показывает действие молекул на стенки, объём характеризует занимаемое пространство, а температура связана со средней кинетической энергией движения молекул. Если количество газа не меняется, изменение одного параметра вызывает изменение хотя бы одного из двух других.
Из закона Бойля—Мариотта при постоянной температуре следует pV = const. Законы Гей-Люссака дают две другие зависимости: при постоянном объёме p/T = const, а при постоянном давлении V/T = const. Объединяя эти зависимости для произвольного перехода между состояниями, получают pV/T = const, поскольку масса газа остаётся одной и той же.
В формулах используется температура в кельвинах, потому что нуль этой шкалы соответствует абсолютному нулю. При 0 °C температура не исчезает: это 273,15 К, поэтому подстановка градусов Цельсия нарушила бы пропорциональность между температурой и давлением или объёмом. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15.
Для данной массы газа величина pV/T постоянна, но её значение зависит от количества вещества. Из молекулярно-кинетического описания следует, что эта постоянная равна νR, поэтому pV/T = νR и pV = νRT. Уравнение состояния применяют, когда нужно связать параметры конкретного состояния с числом молей газа.
Обе записи предполагают модель идеального газа и неизменное количество вещества, если сравниваются состояния одной закрытой системы. При выпуске газа, утечке или добавлении газа ν меняется, поэтому pV/T уже не обязано оставаться постоянным. Чем ближе реальный газ к идеальному поведению, тем точнее расчёт.
В таблице сначала определите, какая величина закреплена условием задачи. Затем выберите строку с подходящим законом и проверьте, в каких единицах заданы величины.
| Закон или уравнение | Условия применимости | Связь величин | Что остаётся постоянным |
|---|---|---|---|
| Закон Бойля—Мариотта | Идеальный газ, постоянные T и ν | pV = const | T и ν |
| Закон Гей-Люссака для постоянного объёма | Идеальный газ, постоянные V и ν | p/T = const | V и ν |
| Закон Гей-Люссака для постоянного давления | Идеальный газ, постоянные p и ν | V/T = const | p и ν |
| Объединённый газовый закон | Идеальный газ, постоянная масса | pV/T = const | ν |
| Уравнение состояния идеального газа | Идеальный газ, задано количество вещества | pV = νRT | R для всех газов |
Если меняется только один из параметров, объединённый закон превращается в один из частных газовых законов. Если требуется найти давление, объём или температуру при известном количестве вещества, удобнее использовать уравнение pV = νRT.
Задача 1. Газ находится в жёстком сосуде при T₁ = 300 К и p₁ = 100 кПа. Найдём давление после нагревания до T₂ = 450 К. Жёсткий сосуд означает постоянный объём, а количество газа не изменяется.
Ответ: давление увеличится до 150 кПа, то есть в 1,5 раза, поскольку абсолютная температура увеличилась в 1,5 раза.
Задача 2. При p₁ = 100 кПа и T₁ = 300 К объём газа V₁ = 2 л. Требуется найти V₂ при p₂ = 150 кПа и T₂ = 450 К. Количество газа неизменно, поэтому применяем объединённый закон.
Ответ: V₂ = 2 л. Нагревание увеличивает объём, а рост давления при данных числах компенсирует это изменение.
Задача 3. В сосуде V = 10 л находится ν = 0,5 моль газа при T₁ = 300 К. Сначала найдём давление, затем определим его после нагревания до T₂ = 600 К. Объём сосуда и количество газа постоянны.
Ответ: первоначальное давление примерно 125 кПа, после нагревания — примерно 250 кПа.
Температура в градусах Цельсия. Так делают, потому что бытовая шкала привычнее. Переведите обе температуры в кельвины и проверьте, не получилось ли отрицательное или нулевое значение там, где его не должно быть.
Изменение количества газа. Формулу pV/T = const иногда применяют после выпуска газа из сосуда, хотя масса уже изменилась. Перед решением проверьте, закрыта ли система и нет ли утечки или добавления вещества.
Потеря множителя в объединённом законе. При преобразовании равенства p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ легко забыть один из параметров. Перепишите исходную формулу, умножьте обе части на T₂ и разделите на p₂, а затем проверьте единицы ответа.
Несогласованные единицы. Подстановка литров и килопаскалей в уравнение с R часто даёт ошибочный результат. В СИ используйте паскали, кубические метры, моли и кельвины; после вычисления при необходимости переведите ответ обратно.
До этой темы нужно знать законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака и Шарля, а также понятие количества вещества. Полезно уметь переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины и работать с единицами СИ.
Формулы применяют для расчётов в закрытых сосудах, баллонах и поршневых установках. Они помогают описывать нагревание и сжатие газа, а также работу элементов тепловых машин.
Далее уравнение состояния используется в молекулярно-кинетической теории, при нахождении плотности газа и изучении термодинамических процессов. Оно связывает наблюдаемые параметры газа с его количеством вещества.
Почему в формулах нельзя использовать температуру в градусах Цельсия?
Газовые законы связывают величины с абсолютной температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля. Поэтому температуру переводят в кельвины: T = t + 273,15.
Чем объединённый газовый закон отличается от уравнения состояния идеального газа?
Объединённый закон имеет вид pV/T = const и описывает переходы данной неизменной массы газа. Уравнение pV = νRT содержит количество вещества ν и задаёт связь параметров состояния идеального газа.
Можно ли применять формулу pV/T = const, если газ выпускают из сосуда?
Нельзя, потому что при выпуске изменяется количество вещества, а значит, масса газа уже не остаётся постоянной. В такой ситуации нужно учитывать изменение ν и использовать уравнение состояния для каждого состояния.
Как выбрать между объединённым газовым законом и уравнением pV = νRT?
Объединённый закон удобен при сравнении двух состояний одной и той же массы газа. Уравнение состояния выбирают, когда известно или требуется найти количество вещества либо абсолютные значения параметров.
Что делать, если давление или объём заданы не в единицах СИ?
Их нужно перевести в согласованные единицы: давление — в паскали, объём — в кубические метры. Например, 100 кПа = 100 000 Па, а 2 л = 0,002 м³.
§ 48. Объединённый газовый закон. Уравнение состояния идеального газа
