§ 49. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Давление газа — результат ударов движущихся молекул о стенки сосуда. Давление показывает, какая сила приходится на единицу площади: p = F/S. Чем чаще и сильнее молекулы ударяются о стенку, тем больше давление; эта величина позволяет описать действие множества частиц одной измеряемой характеристикой.

Концентрация молекул — отношение числа частиц N к объёму V, который они занимают: n = N/V. Она показывает, сколько молекул содержится в единице объёма, а не сколько их во всём сосуде. Концентрация нужна, чтобы связать число ударяющихся о стенку частиц с давлением газа.

Средняя квадратичная скорость характеризует скорости хаотически движущихся молекул: v²кв = ⟨v²⟩, а сама скорость vкв = √⟨v²⟩. Скобки означают усреднение по молекулам, а квадрат берётся до усреднения. Эта величина нужна потому, что давление определяется не одной выбранной молекулой, а совокупным действием частиц с разными скоростями.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление с концентрацией, массой одной молекулы m₀ и средним квадратом скорости: p = 1/3 nm₀⟨v²⟩. Оно переводит микроскопические свойства частиц в макроскопическое давление, которое можно измерить прибором. Формула применима в модели идеального газа и позволяет находить одну из величин, если известны остальные.

Как это устроено

Для объяснения давления используют модель идеального газа. Предполагают, что размеры молекул намного меньше расстояний между ними, поэтому их собственным объёмом можно пренебречь. Частицы движутся хаотично, а заметно взаимодействуют главным образом во время столкновений; благодаря этому движение между ударами можно считать свободным и рассматривать вклад отдельных столкновений со стенкой.

Когда молекула ударяется о стенку, её импульс меняется: импульс — это произведение массы тела на скорость. При упругом ударе составляющая скорости, перпендикулярная стенке, меняет направление на противоположное, а параллельная составляющая не меняется. Значит, стенка получает импульс, равный по модулю изменению импульса молекулы; множество таких передач импульса создаёт силу, а сила, распределённая по площади, проявляется как давление.

Молекулы летят не только перпендикулярно стенке, но и в разных направлениях. Из-за хаотичности движения ни одно из трёх взаимно перпендикулярных направлений в среднем не выделено, поэтому средние квадраты трёх составляющих скорости равны. Их сумма составляет ⟨v²⟩, значит, на одну составляющую приходится ⟨v²⟩/3; именно так возникает множитель 1/3.

Чтобы получить уравнение, рассматривают молекулы, которые за время ударяются о выбранную стенку, и суммируют переданные ими импульсы. Сила равна изменению импульса за единицу времени, а давление — этой силе, делённой на площадь стенки. После учёта хаотического движения и усреднения по молекулам результат можно записать как p = 1/3 nm₀⟨v²⟩. Здесь n учитывает количество молекул в объёме, а m₀⟨v²⟩ — вклад их массы и движения.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна ⟨Eк⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Подстановка этого выражения в основное уравнение даёт p = 2/3 n⟨Eк⟩. Поэтому при постоянных объёме и числе молекул концентрация остаётся прежней, а более высокая энергия движения означает большее давление: молекулы сильнее воздействуют на стенки.

Величины и формы основного уравнения молекулярно-кинетической теории

В задаче сначала проверьте, какие величины известны, и выберите подходящую форму уравнения. Если дана плотность газа, удобно заменить произведение nm₀ на ρ. Перед подстановкой переведите данные в СИ и проверьте, что в формуле стоит масса одной молекулы.

Разбор задач

Задача 1. В сосуде объёмом 2,0 л находится 1,2·10²³ молекул газа массой 4,0·10⁻²⁶ кг каждая. Средний квадрат скорости равен 9,0·10⁴ м²/с². Найдём давление: поскольку известны число частиц и объём, сначала определим концентрацию.

1. Переведём объём: 2,0 л = 2,0·10⁻³ м³.
2. Найдём концентрацию: n = N/V = 1,2·10²³/(2,0·10⁻³) = 6,0·10²⁵ м⁻³.
3. Подставим в уравнение: p = 1/3·6,0·10²⁵·4,0·10⁻²⁶·9,0·10⁴ = 7,2·10⁴ Па.

Ответ: давление газа равно 7,2·10⁴ Па. Проверка размерности даёт кг/(м·с²), то есть паскаль. Здесь важно было перевести литры в кубические метры до вычисления концентрации.

Задача 2. Плотность газа равна 1,2 кг/м³, давление — 1,0·10⁵ Па. Нужно найти среднюю квадратичную скорость молекул. Так как ρ = nm₀, отдельно определять число молекул и массу одной молекулы не требуется.

1. Запишем уравнение через плотность: p = 1/3 ρv²кв.
2. Выразим скорость: vкв = √(3p/ρ).
3. Подставим значения: vкв = √(3·1,0·10⁵/1,2) = √(2,5·10⁵) = 5,0·10² м/с.

Ответ: средняя квадратичная скорость равна 500 м/с. Корень необходим, потому что в уравнении находится квадрат скорости. Проверить результат можно обратной подстановкой в формулу давления.

Задача 3. В герметичном сосуде нагрели газ, и средняя кинетическая энергия молекул выросла в 1,5 раза. Объём постоянен; найдём изменение давления. В сосуде остаётся то же число молекул, поэтому отношение их числа к объёму, то есть концентрация, не меняется.

1. Используем связь p = 2/3 n⟨Eк⟩.
2. Поскольку n постоянно, давление пропорционально средней кинетической энергии: p₂/p₁ = ⟨Eк₂⟩/⟨Eк₁⟩.
3. По условию отношение энергий равно 1,5, следовательно, p₂/p₁ = 1,5.

Ответ: давление увеличилось в 1,5 раза. Этот вывод относится к герметичному сосуду постоянного объёма: если бы концентрация менялась, одного отношения энергий было бы недостаточно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять среднюю скорость вместо среднего квадрата скорости. Их нельзя смешивать: в уравнении стоит ⟨v²⟩, а средняя квадратичная скорость определяется как √⟨v²⟩. Ошибку часто допускают, потому что обе величины описывают движение в целом; проверьте себя по единицам и по записи формулы.

Вторая ошибка — забывать множитель 1/3. Он появляется не из-за удобства записи, а потому что молекулы движутся по трём равноправным направлениям, тогда как на выбранную стенку влияет одна составляющая скорости. Перед вычислением полезно проверить, что формула записана полностью: p = 1/3 nm₀⟨v²⟩.

Третья ошибка — использовать в формуле массу всего газа вместо m₀, массы одной молекулы. Масса газа характеризует все частицы сразу и не заменяет массу отдельной частицы в уравнении с концентрацией. Если дана масса газа, проверьте, можно ли найти плотность ρ или сначала вычислить массу одной молекулы по числу частиц.

Четвёртая ошибка — считать, что давление пропорционально самой скорости. При фиксированных концентрации и массе в уравнении стоит квадрат средней квадратичной скорости, поэтому удвоение этой скорости увеличивает давление в четыре раза. Для проверки сравните начальное и конечное значения именно величины vкв², а не vкв.

Связь с другими темами

Для понимания вывода нужны импульс тела и его изменение при столкновении, а также сила, давление, плотность и объём. Модель идеального газа на этом основании связывает микроскопическое движение частиц с измеряемыми параметрами вещества. В сочетании с представлением о температуре уравнение помогает получить уравнение состояния идеального газа pV = νRT. Эти идеи используют при изучении внутренней энергии, газовых законов и распределения молекул по скоростям.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул определяется отношением их числа к объёму: n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = 1/3 nm₀⟨v²⟩.
• Произведение nm₀ равно плотности газа ρ, поэтому p = 1/3 ρv²кв.
• Давление пропорционально концентрации молекул, их массе и среднему квадрату скорости.
• Связь с энергией молекул записывается так: p = 2/3 n⟨Eк⟩.
• При постоянных концентрации и массе молекул увеличение их средней кинетической энергии повышает давление.