§ 53. Применение первого закона термодинамики к изохорическому, изотермическому и адиабатическому процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики выражается соотношением Q = ΔU + A. Здесь Q — количество теплоты, переданное газу, ΔU — изменение его внутренней энергии, а A — работа, совершённая газом. Закон показывает, на что расходуется полученная энергия: она изменяет состояние газа и может переходить в механическую работу.

Изохорический процесс — это процесс при постоянном объёме газа: V = const. Объём не изменяется, поэтому граница газа не перемещается и работа газа равна нулю. Это условие позволяет сразу заменить общий закон формулой Q = ΔU.

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре: T = const. Для идеального газа его внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при таком процессе ΔU = 0. Тогда полученная теплота полностью связана с работой газа.

Адиабатический процесс идёт без теплообмена с окружающей средой: Q = 0. Энергия для работы берётся из внутренней энергии газа, если он расширяется, или поступает в неё при сжатии. Поэтому в этом случае ΔU = −A.

Как это устроено

При изохорическом процессе объём газа не меняется, значит, он не перемещает поршень и не совершает механическую работу. В формуле первого закона член A обращается в ноль. Поэтому вся теплота, переданная газу, идёт на увеличение его внутренней энергии, а при охлаждении внутренняя энергия уменьшается вместе с Q.

При изотермическом расширении температура идеального газа остаётся прежней. Поскольку внутренняя энергия такого газа определяется только температурой, ΔU = 0, хотя молекулы продолжают передавать энергию поршню. Полученная теплота компенсирует энергию, которую газ отдаёт при совершении работы: Q = A.

Адиабатический процесс отличается отсутствием теплообмена, но это не запрещает изменению температуры. При расширении газ совершает положительную работу, не получая энергии извне, поэтому его внутренняя энергия уменьшается и газ охлаждается. При сжатии работа газа отрицательна, энергия передаётся ему внешними силами, поэтому внутренняя энергия и температура растут.

На p–V-диаграмме изохора изображается вертикальной линией, поскольку объём по оси V постоянен. Изотерма имеет вид убывающей кривой, а адиабата при расширении убывает круче. Это связано с тем, что на адиабате давление уменьшается не только из-за увеличения объёма, но и из-за охлаждения газа.

Знаки в первом законе нужно выбирать по принятому соглашению. Теплота положительна, если передаётся газу, а работа положительна, если её совершает газ. При расширении A > 0, при сжатии A < 0; работа внешних сил над газом имеет противоположный знак.

Первый закон термодинамики для трёх процессов

Сначала найдите условие процесса и определите, какая величина равна нулю. Затем подставьте это условие в Q = ΔU + A и проверьте знак работы. Таблица особенно полезна для быстрого выбора формулы перед решением задачи.

Разбор задач

Задача 1

Газ нагрели при постоянном объёме и сообщили ему 600 Дж теплоты. Требуется найти изменение внутренней энергии и работу газа. Постоянный объём означает, что процесс является изохорическим.

1. Записываем условие: V = const, поэтому A = 0.
2. Применяем первый закон: Q = ΔU + A.
3. Подставляем значения: 600 Дж = ΔU + 0, значит ΔU = 600 Дж.

Ответ: работа газа A = 0, изменение внутренней энергии ΔU = 600 Дж. Вся полученная теплота пошла на увеличение внутренней энергии.

Задача 2

Идеальный газ изотермически расширился и совершил работу 250 Дж. Нужно определить изменение внутренней энергии и количество теплоты, полученное газом. Постоянная температура позволяет использовать свойство внутренней энергии идеального газа.

1. Так как T = const, внутренняя энергия не меняется: ΔU = 0.
2. Подставляем это в первый закон: Q = 0 + A.
3. Получаем Q = 250 Дж.

Ответ: ΔU = 0, Q = 250 Дж. Теплота положительна, потому что газ получил её при расширении и затратил на совершение работы.

Задача 3

При адиабатическом расширении газ совершил работу 400 Дж. Затем рассматривается адиабатическое сжатие, при котором работа над газом составляет 400 Дж. В обоих случаях теплообмена нет, поэтому Q = 0.

1. При расширении работа газа A = 400 Дж, поэтому ΔU = Q − A = 0 − 400 = −400 Дж.
2. При сжатии работа внешних сил над газом равна 400 Дж, значит работа газа A = −400 Дж.
3. Для сжатия ΔU = 0 − (−400) = 400 Дж.

Ответ: при адиабатическом расширении внутренняя энергия уменьшается на 400 Дж, а при сжатии увеличивается на 400 Дж. Знаки отражают противоположное направление передачи энергии.

Типичные ошибки

Работа при изохорическом процессе. Иногда её считают ненулевой, потому что газ нагревают и давление меняется. Проверяйте именно изменение объёма: при V = const работа равна нулю.

Теплота и внутренняя энергия при изотерме. Ошибка возникает из-за мысли, что полученное тепло обязательно увеличивает внутреннюю энергию. У идеального газа при T = const ΔU = 0, поэтому тепло нужно сопоставить с работой.

Адиабата как процесс с постоянной температурой. Путают отсутствие теплообмена с неизменностью температуры. Условие адиабаты — Q = 0, а температуру нужно определить по изменению внутренней энергии.

Неверный знак работы. При сжатии работу совершают над газом, поэтому работа газа отрицательна. Полезно каждый раз уточнять, чью работу обозначает A: в этой формуле это работа самого газа.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны первый закон термодинамики, понятия внутренней энергии и работы газа, а также уравнение состояния идеального газа. На p–V-диаграмме работа газа равна площади под графиком процесса. Эти знания применяются при изучении тепловых машин, циклов и расчёте работы газа в различных устройствах.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A, если A — работа газа.
• При изохорическом процессе A = 0, поэтому Q = ΔU.
• Для идеального газа при изотермическом процессе ΔU = 0, поэтому Q = A.
• При адиабатическом процессе Q = 0, поэтому ΔU = −A.
• При адиабатическом расширении газ охлаждается, а при сжатии нагревается.
• Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.