§ 56. Решение задач о тепловых машинах

Определения и обозначения

Тепловая машина — устройство, которое получает количество теплоты от нагревателя, часть этой энергии превращает в механическую работу, а остаток передаёт холодильнику. Нагреватель и холодильник — тела, между которыми происходит передача энергии. Такое описание помогает составить энергетический баланс машины.

Рабочее тело — газ или пар, совершающий циклический процесс и передающий энергию от нагревателя к холодильнику. Циклический процесс означает, что после последовательности изменений рабочее тело возвращается в исходное состояние. Именно его изменения обеспечивают работу машины.

Коэффициент полезного действия тепловой машины — отношение механической работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя: η = A/Q₁. Здесь A — работа за цикл, а Q₁ — теплота, полученная от нагревателя; КПД можно выражать долей или процентами. Эта величина показывает, какая часть поступившей энергии пошла на полезную работу.

Идеальная тепловая машина — модель без потерь энергии, для которой предельный КПД определяется температурами нагревателя и холодильника. Для неё используют формулу ηₘₐₓ = 1 − T₂/T₁, где температуры T₁ и T₂ выражены в кельвинах. Модель задаёт верхний предел, с которым сравнивают реальные машины.

Как это устроено

Чтобы машина совершала работу снова и снова, рабочее тело должно после каждого цикла возвращаться в начальное состояние. Иначе его давление, объём или температура постепенно менялись бы, и одинаковое повторение процесса было бы невозможно. Замкнутый цикл позволяет получить устойчивую последовательность действий: тело получает энергию, совершает работу и возвращается к исходным параметрам.

Нагреватель сообщает рабочему телу теплоту Q₁. Не вся эта энергия может перейти в механическую работу: часть Q₂ уходит холодильнику, поэтому для полного цикла выполняется баланс Q₁ = A + Q₂. Это проявление закона сохранения энергии: энергия не исчезает, а распределяется между работой и переданной холодильнику теплотой.

Из баланса можно выразить работу: A = Q₁ − Q₂. Подстановка этого выражения в определение КПД даёт η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁. Значит, если известны две из величин Q₁, Q₂ и A, третью находят по энергетическому балансу, а КПД — сравнением работы с полученной теплотой.

КПД меньше единицы, потому что у работающей тепловой машины Q₂ положительно: некоторую теплоту необходимо передать холодильнику. Увеличить долю энергии, превращаемую в работу, можно, уменьшая Q₂ по сравнению с Q₁. Для идеальной машины предельная оценка зависит от температур резервуаров: ηₘₐₓ = 1 − T₂/T₁; поэтому предел растёт при повышении T₁ или снижении T₂.

В задаче сначала определите, какие величины даны и что требуется найти, а затем выберите связь с нужными величинами. Если даны Q₁ и Q₂, начните с A = Q₁ − Q₂; если известны η и Q₁, используйте A = ηQ₁ и затем найдите Q₂. Если заданы температуры идеальной машины, сначала вычислите ηₘₐₓ, а потом — работу и теплоту холодильника; температуру обязательно переведите в кельвины.

Основные величины и соотношения в задачах о тепловых машинах

В таблице количества теплоты и работа указаны в джоулях, но допустимы и другие единицы — например, килоджоули, если все энергии в вычислении выражены одинаково. КПД перед подстановкой в формулу переводят из процентов в долю единицы: 25% = 0,25. Формулу через температуры применяют для идеальной машины и только с абсолютными температурами.

Разбор задач

Задача 1. Тепловая машина получила от нагревателя 600 кДж теплоты и передала холодильнику 450 кДж. Найдём работу и КПД. Сначала используем баланс цикла, а затем определение КПД.

1. Запишем данные: Q₁ = 600 кДж, Q₂ = 450 кДж.
2. Найдём работу: A = Q₁ − Q₂ = 600 − 450 = 150 кДж.
3. Вычислим КПД: η = A/Q₁ = 150/600 = 0,25 = 25%.

Ответ: A = 150 кДж, η = 25%. Работа меньше полученной теплоты, поскольку 450 кДж переданы холодильнику.

Задача 2. КПД машины равен 25%, а теплота, полученная от нагревателя, составляет 800 кДж. Нужно определить работу и теплоту, переданную холодильнику. Процент сначала превращаем в долю единицы, после чего находим работу и применяем баланс.

1. Запишем данные: η = 0,25, Q₁ = 800 кДж.
2. Из η = A/Q₁ выразим работу: A = ηQ₁ = 0,25 · 800 = 200 кДж.
3. По балансу найдём Q₂: Q₂ = Q₁ − A = 800 − 200 = 600 кДж.

Ответ: A = 200 кДж, Q₂ = 600 кДж. Проверка: 200 + 600 = 800 кДж, а 200/800 = 0,25.

Задача 3. Идеальная машина работает между нагревателем при 500 К и холодильником при 300 К и за цикл получает 2,0 МДж теплоты. Найдём предельный КПД, работу и теплоту холодильника. Температуры уже заданы в кельвинах, поэтому их можно подставить напрямую.

1. Вычислим предельный КПД: ηₘₐₓ = 1 − T₂/T₁ = 1 − 300/500 = 0,40 = 40%.
2. Найдём работу: A = ηₘₐₓQ₁ = 0,40 · 2,0 = 0,80 МДж.
3. Найдём теплоту холодильника: Q₂ = Q₁ − A = 2,0 − 0,80 = 1,20 МДж.

Ответ: ηₘₐₓ = 40%, A = 0,80 МДж, Q₂ = 1,20 МДж. Проверка баланса: 0,80 + 1,20 = 2,0 МДж.

Типичные ошибки

Путаница между Q₁ и Q₂ приводит к тому, что из теплоты нагревателя вычитают неверную величину или считают Q₂ полезной энергией. Обычно это происходит из-за похожих обозначений; помните, что индекс 1 относится к нагревателю, а индекс 2 — к холодильнику. Проверка: для работающей машины должны выполняться Q₁ = A + Q₂ и Q₁ > Q₂.

Формула η = Q₂/Q₁ неверна, потому что Q₂ — не полезная работа, а теплота, отданная холодильнику. Так ошибаются, принимая за КПД отношение любых двух энергий в задаче. Проверьте смысл величины: в числителе определения КПД стоит A, поэтому η = A/Q₁.

Подстановка градусов Цельсия в формулу ηₘₐₓ = 1 − T₂/T₁ даёт неправильный результат, так как температурная шкала Цельсия не начинается от абсолютного нуля. Перед вычислением прибавьте 273,15 к каждой температуре в градусах Цельсия. Контрольный признак: в формуле должны стоять температуры в кельвинах.

Смешение единиц энергии и мощности или подмена работы мощностью меняет смысл вычисления. Работа за цикл измеряется в джоулях, мощность — в ваттах, то есть джоулях в секунду; перед расчётом энергии приведите все значения к одной единице. Если даны мощность и время, сначала найдите работу по формуле A = Nt.

Связь с другими темами

Для решения задач понадобятся закон сохранения энергии и первый закон термодинамики: они помогают составить баланс между полученной теплотой, работой и отданной энергией. Также пригодятся представления о работе газа и перевод температур из градусов Цельсия в кельвины. Эти знания позволяют понять, откуда берутся формулы, а не только подставлять числа.

Тема связана с циклическими процессами и циклом Карно, который описывает идеальный предел работы тепловой машины. Те же идеи применяются при изучении двигателей внутреннего сгорания и холодильных установок. Сравнение КПД помогает оценивать, насколько эффективно устройства используют энергию.

Что запомнить

• Тепловая машина превращает часть полученной теплоты в механическую работу.
• За цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние.
• Энергетический баланс цикла: Q₁ = A + Q₂.
• КПД машины равен отношению работы к теплоте, полученной от нагревателя: η = A/Q₁.
• КПД любой реальной тепловой машины меньше единицы.
• Для идеальной машины КПД зависит от абсолютных температур нагревателя и холодильника: ηₘₐₓ = 1 − T₂/T₁.
• Увеличить предельный КПД можно повышением температуры нагревателя и снижением температуры холодильника.