§ 62. Решение задач о парах

Определения и обозначения

Пара сил — две равные по модулю, параллельные и противоположно направленные силы, линии действия которых не совпадают. Линия действия — прямая, вдоль которой направлена сила. Такое определение позволяет отличить пару от двух сил, которые просто уравновешивают друг друга и не поворачивают тело.

Плечо пары сил — кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары; обычно его обозначают d. Поскольку линии параллельны, плечо измеряют по перпендикуляру между ними. Оно нужно, чтобы учесть, насколько далеко друг от друга приложены вращающие действия сил.

Момент пары сил — произведение модуля одной из сил на плечо пары: M = Fd. Момент характеризует вращательное действие пары: при большей силе или большем плече вращать тело легче. Измеряется он в Н·м, если сила дана в ньютонах, а плечо — в метрах.

Равновесие под действием пар сил — состояние, при котором алгебраическая сумма моментов всех пар равна нулю. Алгебраической называют сумму, в которой направлениям вращения назначены разные знаки. Это условие помогает определить неизвестный момент или понять, останется ли тело в равновесии.

Как это устроено

Равные силы пары направлены в противоположные стороны, поэтому их векторная сумма равна нулю. Именно поэтому они не разгоняют тело целиком в одном направлении. Однако силы приложены не на одной линии: одна стремится повернуть тело в одну сторону, другая поддерживает вращение в ту же сторону. В результате поступательного действия нет, а вращательное сохраняется.

Чтобы найти линии действия сил, мысленно продолжите прямую вдоль направления каждой силы через точку её приложения. Плечо — не расстояние между самими точками, а кратчайший отрезок между получившимися параллельными прямыми. Кратчайший путь между параллельными прямыми всегда перпендикулярен им. Поэтому наклонное расстояние между точками приложения может оказаться больше плеча и не подходит для формулы момента.

Момент пары равен M = Fd и не зависит от того, относительно какой точки вычисляются моменты отдельных сил. Если перенести точку отсчёта, момент одной силы изменится, но момент другой изменится на равную величину с противоположным знаком. Эти изменения взаимно уничтожатся, так что суммарный момент пары останется прежним. Это свойство удобно: не нужно выбирать особую точку, чтобы вычислить действие пары.

Направление вращения определяют по тому, как пара стремилась бы повернуть свободное тело. Для удобства можно считать вращение против часовой стрелки положительным, а по часовой — отрицательным, или наоборот. Само соглашение не влияет на ответ, но его нельзя менять в середине решения. Если направление вращения неизвестно, его можно задать условно: отрицательный результат покажет, что настоящее направление противоположно выбранному.

Когда на тело действуют несколько пар, сначала находят момент каждой, а затем складывают моменты с выбранными знаками. Если нужен результирующий момент, эта алгебраическая сумма и будет ответом. Если требуется равновесие, записывают сумму, равную нулю, и находят неизвестный момент или силу. Модули моментов противоположных направлений не складывают как обычные положительные числа: их действия частично или полностью компенсируются.

Основные характеристики пары сил

Сначала по таблице проверьте, что рассматриваемые силы действительно образуют пару, и найдите её плечо. Затем вычислите момент и укажите направление вращения, а для нескольких пар используйте знаки. В задачах на равновесие итоговая алгебраическая сумма должна быть нулевой.

Разбор задач

1. Момент пары на гаечном ключе

На ключ действуют силы по 20 Н, расстояние между линиями их действия равно 15 см. Требуется найти момент пары. Сила уже задана в ньютонах, но плечо необходимо перевести в метры. Это поможет получить момент в стандартных единицах Н·м.

1. Запишем данные: F = 20 Н, d = 15 см.
2. Переведём плечо: 15 см = 0,15 м. В формулу входит модуль одной силы, а не сумма двух сил.
3. Вычислим момент: M = Fd = 20 · 0,15 = 3 Н·м.

Ответ: момент пары равен 3 Н·м. Направление момента определяется тем, в какую сторону силы стремятся повернуть ключ; в условии направление не задано.

2. Сила для поворота диска

Для поворота диска нужен момент пары 12 Н·м, расстояние между линиями действия сил составляет 0,4 м. Нужно определить модуль каждой силы. Обе силы пары одинаковы по модулю, поэтому достаточно найти значение F для одной из них. Из формулы момента выразим силу делением момента на плечо.

1. Запишем формулу: M = Fd.
2. Выразим неизвестное: F = M / d. Размерности согласованы: Н·м / м даёт Н.
3. Подставим данные: F = 12 / 0,4 = 30 Н.

Ответ: модуль каждой силы равен 30 Н. Умножать результат на два не нужно: момент пары рассчитывают по одной силе.

3. Равновесие трёх пар

Первая пара создаёт момент 18 Н·м по часовой стрелке, вторая — 6 Н·м против часовой стрелки. Требуется найти момент третьей пары, который обеспечит равновесие. Примем вращение против часовой стрелки за положительное. Тогда первая пара имеет отрицательный момент, а вторая — положительный.

1. Запишем известные моменты: M₁ = −18 Н·м, M₂ = +6 Н·м.
2. Для равновесия сумма должна быть нулевой: M₁ + M₂ + M₃ = 0.
3. Подставим значения: −18 + 6 + M₃ = 0, откуда M₃ = 12 Н·м.

Ответ: третья пара должна создавать момент 12 Н·м против часовой стрелки. Его положительный знак означает, что он направлен так же, как вторая пара, и компенсирует общий момент первых двух.

Типичные ошибки

Ошибка: принять за плечо расстояние между точками приложения сил. Так делают, потому что эти точки легко увидеть на схеме. Но момент зависит от расстояния между линиями действия, а не от произвольно выбранного отрезка между точками. Проверьте себя: плечо должно быть кратчайшим расстоянием между параллельными линиями, то есть перпендикуляром к ним.

Ошибка: складывать модули моментов противоположного направления. В таком случае можно получить неверный результирующий момент, потому что вращения частично компенсируют друг друга. Обычно ошибка возникает, когда направление забывают обозначить знаком. Поставьте стрелки вращения и проверьте, что моменты противоположных направлений имеют разные знаки.

Ошибка: подставлять в M = Fd сумму двух сил пары. Поскольку сил две, может показаться, что в формуле нужна их общая величина. Но момент пары определён через модуль одной силы, а силы уже учтены совместным действием; подстановка суммы удвоит результат. Проверьте расчёт: при равных силах в формуле стоит только F, не 2F.

Ошибка: оставить плечо в сантиметрах или миллиметрах. Это часто происходит, если единицы измерения пропущены при переписывании условия. При силе в ньютонах плечо нужно выражать в метрах, чтобы получить Н·м. Перед вычислением переведите, например, 15 см в 0,15 м и убедитесь, что итоговая единица момента — Н·м.

Связь с другими темами

Для решения задач о парах понадобятся условия равновесия, понятие момента силы и умение определять линию действия силы. Также важно уверенно переводить сантиметры и миллиметры в метры. Эти знания соединяются в расчётах рычагов, ворот, рулей, гаечных ключей и других механизмов: по моментам можно понять, будет ли тело поворачиваться и какая сила нужна для равновесия. Тема связана со сложением моментов, центром масс и общими условиями равновесия твёрдого тела.

Что запомнить

• Пара сил состоит из равных, противоположно направленных и параллельных сил.
• Равнодействующая сил пары равна нулю.
• Пара сил может вращать тело, хотя не вызывает его поступательного движения.
• Плечо пары — расстояние между линиями действия сил.
• Момент пары вычисляют по формуле M = Fd.
• Моменты пар складывают алгебраически с учётом направления вращения.
• Для равновесия тела сумма моментов всех пар должна быть равна нулю.