§ 9. Равномерное движение по окружности

Определения и обозначения

Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело движется по окружности с постоянным модулем скорости. Направление вектора скорости непрерывно меняется, потому что в каждой точке окружности касательная направлена иначе. Поэтому равномерность здесь относится только к модулю скорости.

Период обращения — время одного полного оборота тела; его обозначают буквой T. В СИ период измеряется в секундах. Эта величина показывает, сколько времени требуется телу для повторения своего движения.

Частота обращения — число полных оборотов за единицу времени; её обозначают греческой буквой ν. Частота измеряется в герцах: 1 Гц равен одному обороту в секунду. Она связана с периодом соотношением ν = 1/T.

Угловая скорость — отношение угла поворота радиус-вектора ко времени; её обозначают буквой ω. За один оборот радиус-вектор поворачивается на 2π радиан, поэтому ω = 2π/T. Угловая скорость описывает быстроту вращения независимо от радиуса окружности.

Как это устроено

При движении по окружности тело за равные промежутки времени проходит одинаковые дуги, поэтому модуль скорости остаётся постоянным. Однако направление скорости в каждой новой точке должно совпадать с новой касательной к окружности. Значит, вектор скорости непрерывно меняется, и движение нельзя считать равномерным по вектору скорости.

Радиус-вектор соединяет центр окружности с движущимся телом. За один полный оборот он поворачивается на угол 2π радиан, поэтому за время T угловая скорость равна ω = 2π/T. Так как ν = 1/T, получаем также связь ω = 2πν.

Линейная скорость направлена по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу в точке движения. За один период тело проходит длину окружности 2πR, поэтому v = 2πR/T. С учётом формулы для угловой скорости это записывается как v = ωR.

Изменение направления скорости означает, что у тела есть ускорение даже при постоянном её модуле. При малом перемещении изменение вектора скорости направлено внутрь окружности, потому что новые касательные постепенно поворачиваются к центру. Поэтому ускорение называют центростремительным, а его модуль равен a = v²/R = ω²R.

Центростремительное ускорение перпендикулярно мгновенной скорости. Ускорение, направленное перпендикулярно скорости, не увеличивает и не уменьшает её модуль, а только поворачивает вектор. Именно поэтому тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью.

Величины, характеризующие равномерное движение по окружности

В таблице собраны основные величины и формулы для их связи. При решении задачи сначала определите, что дано, затем выберите формулу с нужной величиной и проверьте единицы СИ.

Разбор задач

Задача 1

Тело совершает 12 оборотов за 6 с. Найдём частоту и период обращения. Число оборотов и время уже заданы в удобных единицах.

1. Частота равна числу оборотов, делённому на время: ν = N/t = 12/6 = 2 Гц.

2. Период — величина, обратная частоте: T = 1/ν = 1/2 = 0,5 с.

Ответ: ν = 2 Гц, T = 0,5 с.

Задача 2

Точка движется по окружности радиусом 0,5 м с периодом 2 с. Требуется определить угловую и линейную скорости. Сначала найдём величину, связанную непосредственно с периодом.

1. Угловая скорость равна ω = 2π/T = 2π/2 = π рад/с.

2. Линейная скорость связана с угловой формулой v = ωR. Подставляем данные: v = π · 0,5 = 0,5π м/с, примерно 1,57 м/с.

Ответ: ω = π рад/с, v = 0,5π м/с ≈ 1,57 м/с.

Задача 3

Автомобиль движется по круговой трассе радиусом 80 м со скоростью 20 м/с. Нужно найти центростремительное ускорение и сравнить его со значением при удвоении скорости.

1. Используем формулу a = v²/R: a₁ = 20²/80 = 400/80 = 5 м/с².

2. При скорости 40 м/с получаем a₂ = 40²/80 = 1600/80 = 20 м/с². Скорость увеличилась в 2 раза, а ускорение — в 4 раза, поскольку оно пропорционально квадрату скорости.

Ответ: первоначальное ускорение равно 5 м/с², после удвоения скорости — 20 м/с², то есть оно увеличивается в 4 раза.

Типичные ошибки

Ошибка: считать движение полностью равномерным только из-за постоянного модуля скорости. Так поступают, забывая о направлении вектора скорости. Проверьте себя: если направление меняется, есть ускорение, поэтому векторная скорость не постоянна.

Ошибка: путать период и частоту. Период показывает время одного оборота и измеряется в секундах, а частота показывает число оборотов за секунду и измеряется в герцах. Для проверки запишите связь ν = 1/T: значения должны быть взаимно обратными.

Ошибка: направлять скорость к центру окружности. Скорость направлена по касательной, а к центру направлено центростремительное ускорение. Проверьте перпендикулярность этих направлений: радиус, скорость и ускорение образуют нужную геометрическую картину.

Ошибка: подставлять в формулу a = v²/R диаметр вместо радиуса или оставлять несогласованные единицы. Диаметр нужно разделить на два, а скорость выразить в м/с, радиус — в метрах. После вычисления единица ускорения должна получиться м/с².

Связь с другими темами

До изучения движения по окружности нужны представления о векторах скорости и ускорения, равномерном прямолинейном движении и радиусе окружности. Также необходимо уметь измерять углы в радианах, поскольку полный оборот равен 2π радиан.

Эти формулы используются при изучении второго закона Ньютона для движения по окружности. Они помогают объяснить действие силы тяготения и движение искусственных спутников, когда роль центростремительной силы выполняет гравитация.

Связь v = ωR понадобится при изучении вращательного движения твёрдых тел. Она показывает, как одна и та же угловая скорость создаёт разные линейные скорости точек, расположенных на разных расстояниях от оси.

Что запомнить

• При равномерном движении по окружности постоянен модуль скорости, но меняется её направление.
• Период — время одного оборота; частота — число оборотов за секунду.
• ν = 1/T, а ω = 2πν = 2π/T.
• Линейная скорость направлена по касательной, и v = ωR.
• Центростремительное ускорение направлено к центру окружности.
• Модуль ускорения равен a = v²/R = ω²R.