5. Полное внутреннее отражение

Определения и обозначения

Полное внутреннее отражение — отражение всего светового потока от границы двух сред без выхода преломлённого луча во вторую среду. Оно возникает не при любом падении света, а только при определённых направлениях и переходе между средами. Это явление позволяет удерживать свет внутри прозрачного материала.

Оптически более плотная среда — среда с большим показателем преломления, из которой свет переходит в среду с меньшим показателем. Например, стекло оптически плотнее воздуха, потому что показатель преломления стекла больше. Именно из такой среды должен идти падающий луч для возникновения полного отражения.

Предельный угол — угол падения, при котором преломлённый луч скользит вдоль границы раздела, а угол преломления равен 90°. Его обозначают α_пр. Сравнение угла падения с α_пр позволяет определить, выйдет ли луч во вторую среду.

Световод — устройство или среда, направляющая свет за счёт многократного полного внутреннего отражения. В простейшем случае это слой или сердцевина с большим показателем преломления, окружённая средой с меньшим показателем. Так передают сигналы в оптических волокнах.

Как это устроено

Полное внутреннее отражение возможно только при переходе из среды с большим показателем преломления n₁ в среду с меньшим показателем n₂. По закону преломления n₁ sin α = n₂ sin β, где α — угол падения, а β — угол преломления. Если n₁ больше n₂, то для равенства произведений sin β должно быть больше sin α, поэтому преломлённый луч отклоняется от нормали.

При увеличении угла падения α величина sin α также увеличивается в пределах от 0 до 1. Поскольку отношение n₁/n₂ больше единицы, закон преломления требует ещё большего значения sin β. Значит, угол преломления β возрастает быстрее и постепенно приближается к 90°.

Предельное положение достигается, когда β = 90°, то есть преломлённый луч идёт вдоль границы раздела сред. Подстановка этого условия в закон преломления даёт n₁ sin α_пр = n₂, поскольку sin 90° = 1. Поэтому формула предельного угла имеет вид sin α_пр = n₂/n₁.

Если угол падения увеличить ещё сильнее, закон преломления потребовал бы для синуса угла преломления значения больше единицы. Такое значение невозможно для действительного угла. Поэтому преломлённый луч исчезает, а световой поток полностью отражается в первой, более плотной среде.

Формула α_пр зависит от обоих показателей преломления, но особенно важна их разница. При уменьшении отношения n₂/n₁ предельный угол становится меньше, и полное отражение легче получить. На этом основаны световоды: сердцевина имеет больший показатель преломления, чем оболочка, поэтому луч многократно отражается и остаётся внутри.

Преломление и полное внутреннее отражение на границе двух сред

Сначала определите, идёт ли луч из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим. Затем сравните угол падения с предельным углом. При равенстве углов используйте среднюю строку: преломлённый луч ещё есть, но направлен вдоль границы.

Разбор задач

Задача 1

Луч переходит из стекла с показателем преломления 1,5 в воздух. Требуется найти предельный угол полного внутреннего отражения. Для воздуха примем n₂ ≈ 1, а для стекла n₁ = 1,5. Поскольку свет идёт из стекла в воздух, условие для полного отражения выполнено.

1. Запишем формулу: sin α_пр = n₂/n₁.
2. Подставим значения: sin α_пр = 1/1,5 ≈ 0,667.
3. По таблице синусов или калькулятору найдём угол: α_пр ≈ 41,8°.

Ответ: предельный угол равен примерно 42°. Полное внутреннее отражение начнётся при угле падения больше этого значения.

Задача 2

Нужно определить, произойдёт ли полное отражение при переходе из воды в воздух, если угол падения равен 60°. Возьмём для воды n₁ ≈ 1,33, для воздуха n₂ ≈ 1. Луч идёт из более плотной среды в менее плотную, поэтому сначала можно вычислить предельный угол.

1. Находим синус предельного угла: sin α_пр = 1/1,33 ≈ 0,752.
2. Получаем α_пр ≈ 48,8°.
3. Сравниваем: 60° больше 48,8°, значит, условие полного внутреннего отражения выполняется.

Ответ: да, при угле падения 60° свет полностью отразится внутри воды.

Задача 3

Свет распространяется в стеклянной призме с показателем n₁ и падает на границу со средой, имеющей показатель n₂, причём n₁ > n₂. Требуется найти диапазон углов, при которых луч останется внутри призмы, и направление вышедшего луча при меньшем угле. Обозначим угол падения через α и измеряем его от нормали к границе.

1. Вычислим предельный угол: α_пр = arcsin(n₂/n₁).
2. При α > α_пр луч останется в призме благодаря полному внутреннему отражению; диапазон таких углов: α_пр < α < 90°.
3. При α < α_пр луч выйдет из призмы. Его угол β найдём по закону преломления: sin β = n₁ sin α/n₂.

Ответ: внутри призмы луч удерживается при α больше предельного угла и меньше 90°. При меньшем угле он выходит во вторую среду, отклоняясь от нормали.

Типичные ошибки

Считают, что полное отражение возможно при переходе из менее плотной среды в более плотную. Такую ошибку вызывают неверное понимание слова «плотная» и забытая направленность перехода. Проверьте себя: падающий луч должен находиться в среде с большим n.

Сравнивают угол падения с 90°, хотя нужно сравнивать его с предельным углом. Угол 90° лишь задаёт возможный предел для самого угла падения, а не условие отражения. Сначала вычислите α_пр, затем проверьте неравенство α > α_пр.

Используют формулу sin α_пр = n₁/n₂ вместо правильной формулы sin α_пр = n₂/n₁. Ошибка появляется из-за перестановки показателей при записи закона преломления. Убедиться в результате можно так: при n₂ < n₁ синус предельного угла должен быть меньше единицы.

Считают, что при предельном угле преломлённого луча уже нет. На самом деле при α = α_пр он идёт вдоль границы, а полное отражение начинается только при α > α_пр. Всегда различайте равенство и превышение угла.

Связь с другими темами

Для изучения полного внутреннего отражения нужны закон отражения, закон преломления, показатель преломления и умение отсчитывать углы от нормали к поверхности. Эти знания позволяют вывести формулу предельного угла, а не просто запомнить её. В свою очередь, тема помогает понять устройство оптических волокон, световодов, призм в оптических приборах и некоторых перископов.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение происходит на границе двух сред при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную.
• Угол падения при полном внутреннем отражении больше предельного.
• При предельном угле преломлённый луч идёт вдоль границы раздела сред.
• Предельный угол определяется показателями преломления обеих сред.
• Чем сильнее отличаются показатели преломления сред, тем меньше предельный угол.
• При полном внутреннем отражении свет отражается обратно в первую среду.
• Световоды передают свет благодаря многократному полному внутреннему отражению.