7. Использование фокальной плоскости линзы для построения изображения точки, лежащей на главной оптической оси линзы, хода произвольного луча и нахождения фокусов

Определения и обозначения

Фокальная плоскость — плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через фокус линзы. Она нужна для построения не только осевых, но и наклонных лучей: положение точки их встречи с этой плоскостью задаёт направление после линзы.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр и фокусы линзы. Её используют как основную линию построения: на ней отмечают предмет и изображение осевой точки, а также измеряют фокусное расстояние.

Оптический центр линзы — точка, проходя через которую луч в тонкой линзе не меняет направления. Это свойство позволяет проводить вспомогательную прямую от оптического центра к точке фокальной плоскости, чтобы найти ход другого луча.

Фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после линзы сходятся параллельные оси лучи или из которой они кажутся расходящимися. У собирающей линзы фокус действительный, у рассеивающей — мнимый; положение фокуса определяет фокальную плоскость.

Как это устроено

Луч, падающий параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус собирающей линзы. Если такие лучи падают на линзу в разных местах, каждый из них направляется к одной и той же точке на оси. Поэтому их пересечения лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через фокус, — в задней фокальной плоскости. Для рассеивающей линзы там пересекаются не сами лучи, а их продолжения назад.

Для произвольного падающего луча сначала находят точку, где он пересекает переднюю фокальную плоскость. Если луч проходит мимо этой плоскости в сторону, его продолжают мысленно до пересечения. Через найденную точку проводят прямую к оптическому центру: луч на этой прямой, направленный к линзе, идёт через центр без отклонения. Поэтому настоящий луч после линзы проводят параллельно этой прямой, через место его падения на линзу.

Чтобы построить изображение точки на главной оси, выберите один луч, идущий от точки к линзе, и отметьте место его падения. Продолжите падающий луч до передней фокальной плоскости, соедините точку пересечения с оптическим центром и проведите выходящий луч по правилу параллельности. Там, где он пересечёт главную ось, находится предполагаемое изображение осевой точки. Для рассеивающей линзы при необходимости продлевают выходящие лучи: тогда изображение может оказаться мнимым.

Независимость результата от выбранного луча объясняется тем, что все лучи от одной предметной точки после линзы должны соответствовать одному и тому же изображению. В идеальной модели тонкой линзы каждый из них преломляется по правилу линзы и пересекает остальные лучи в одной точке. Второй построенный луч служит проверкой: если линии не пересекаются точно, причина обычно в неточности чертежа или в неверно выбранном продолжении.

Положение фокуса можно восстановить по лучам, падающим параллельно оси: для собирающей линзы их пересечение после линзы даёт задний фокус, а для рассеивающей фокус находят на продолжениях назад. Передний фокус определяют обратным правилом: луч, направленный к нему, после линзы идёт параллельно оси. Если известен произвольный луч после линзы, его продолжение до задней фокальной плоскости задаёт точку, по которой можно восстановить параллельный падающий луч. Собирать или продолжать лучи нужно в соответствии с тем, действительное или мнимое изображение рассматривается.

Построение лучей и изображений с использованием фокальной плоскости

В таблице собраны ситуации, в которых фокальная плоскость помогает восстановить ход лучей. В каждой строке сначала определяют вспомогательную точку, а затем используют параллельность или прохождение через фокус. Для рассеивающей линзы внимательно различайте реальные лучи и их продолжения.

Разбор задач

Задача 1

На главной оптической оси собирающей линзы задана светящаяся точка. По одному произвольному падающему лучу и фокальной плоскости нужно построить её изображение. Числовых данных нет, поэтому решение выполняют геометрически. Сначала важно понять, что искомое изображение лежит на оси, а значит, достаточно найти, где ось пересечёт преломлённый луч.

1. Отметьте на схеме оптический центр, главную ось и переднюю фокальную плоскость.
2. Выберите луч от светящейся точки к линзе и продолжите его до передней фокальной плоскости. Точку пересечения обозначьте P.
3. Соедините P с оптическим центром O. В точке падения луча на линзу проведите выходящий луч параллельно OP: это задаёт его направление после преломления.
4. Продлите построенный луч до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения и есть изображение, полученное по выбранному лучу.

Проверка нужна, потому что один луч сам по себе не подтверждает правильность построения. Выберите от той же точки другой падающий луч и повторите шаги: для идеальной тонкой линзы он должен прийти к той же точке изображения. Ответ: изображение находится на оси в месте пересечения оси с построенным преломлённым лучом.

Задача 2

Для рассеивающей линзы задан луч, падающий под углом к главной оптической оси. Нужно построить преломлённый луч с помощью передней фокальной плоскости. У такой линзы передний фокус мнимый, поэтому направление к нему задают продолжением прямой, а не реальным лучом, проходящим через фокус. Сначала уточните, где расположена плоскость, перпендикулярная оси через этот фокус.

1. Отметьте точку падения луча на линзу и продолжите падающий луч до пересечения с передней фокальной плоскостью; если реального пересечения нет, используйте продолжение.
2. Обозначьте найденную точку P и проведите прямую OP через оптический центр O.
3. Через место падения на линзу проведите луч после линзы параллельно OP. Не направляйте его через точку P: P задаёт параллельность, а не место прохождения выходящего луча.
4. При необходимости продолжите построенный луч назад, чтобы проверить связь с мнимым фокусом.

Так применяется правило сопряжённых фокальных плоскостей: точка на передней плоскости задаёт направление, соответствующее точке задней фокальной плоскости. У рассеивающей линзы часть значимых пересечений оказывается виртуальной, поэтому на схеме используют продолжения. Ответ: выходящий луч проводят через точку падения параллельно OP, учитывая мнимое положение фокуса.

Задача 3

На схеме несколько параллельных лучей проходят через неизвестную тонкую линзу; требуется определить фокус, фокусное расстояние и тип линзы, а затем построить изображение осевой точки. Параллельные падающие лучи удобны тем, что их ход сразу показывает, сходятся ли они после линзы. Начните не с изображения точки, а с восстановления фокальной плоскости по этой группе лучей.

1. Проведите главную оптическую ось и продлите выходящие лучи либо их продолжения до общей точки. Если точка находится за линзой и лучи действительно сходятся, линза собирающая; если пересекаются только продолжения перед линзой, линза рассеивающая.
2. Общая точка на оси — фокус. Через неё проведите прямую, перпендикулярную оси: это фокальная плоскость. Расстояние вдоль оси от линзы до фокуса равно фокусному расстоянию.
3. Для заданной осевой точки выберите падающий луч, продолжите его до передней фокальной плоскости и найдите точку пересечения P.
4. Соедините P с оптическим центром, через место падения луча на линзу проведите выходящий луч параллельно OP и отметьте его пересечение с осью. Повторите построение для второго луча.

Если два луча дают одну точку, построение согласуется с моделью тонкой линзы. При рассеивающей линзе учитывайте мнимые точки пересечения и изображение, найденное продолжениями. Ответ: тип линзы определяется по реальному схождению лучей или схождению их продолжений, фокус — по общей точке, фокусное расстояние — по расстоянию до неё вдоль оси.

Типичные ошибки

Фокальную плоскость иногда принимают за плоскость линзы. Так происходит из-за того, что обе плоскости на схеме могут быть нарисованы перпендикулярно оси, но фокальная проходит через фокус, а линза — через оптический центр. Проверьте построение: расстояние от оптического центра до фокальной плоскости вдоль оси должно соответствовать фокусному расстоянию.

Другая ошибка — проводить выходящий луч прямо через точку фокальной плоскости. Точка нужна не как обязательное место прохождения луча, а для определения направления: выходящий луч должен быть параллелен прямой, соединяющей её с оптическим центром. Для самопроверки проведите обе прямые и сравните их направления.

Правило для собирающей линзы могут механически перенести на рассеивающую, забывая, что её фокусы мнимые. Тогда лучи ошибочно рисуют сходящимися там, где сходятся лишь их продолжения. Проверяйте, какая именно линия достигает фокуса: сам луч или продолжение назад.

Наконец, пересечение одного построенного луча с осью принимают за окончательный результат. Но ошибка в одном вспомогательном построении тоже даст точку на оси, поэтому изображение нужно проверить вторым лучом от той же точки. Если лучи не пересеклись в одном месте, проверьте положение фокальной плоскости, параллельность направлений и использование продолжений.

Связь с другими темами

Для этого способа понадобятся знания о ходе основных лучей в собирающей и рассеивающей линзах, правила построения изображений и свойства тонкой линзы. Геометрическая часть опирается на умение пользоваться подобием треугольников и строить прямые, параллельные или перпендикулярные главной оси. Метод пригодится при разборе оптических систем, анализе хода лучей и определении фокусного расстояния по экспериментальной схеме.

Что запомнить

• Фокальная плоскость проходит через фокус и перпендикулярна главной оптической оси.
• Параллельные главной оси лучи после собирающей линзы проходят через её фокус.
• Направление произвольного луча после линзы можно определить с помощью его пересечения с фокальной плоскостью.
• Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не отклоняется.
• Для изображения осевой точки достаточно построить два луча и найти их пересечение.
• У рассеивающей линзы фокус и изображение параллельных лучей могут быть мнимыми.