"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Тонкая линза — модель линзы, в которой её толщиной пренебрегают, чтобы связать положение предмета, изображения и фокуса простой формулой. Она показывает, где окажется изображение после преломления света, и позволяет различать действительные и мнимые изображения. Главная формула: 1/F = 1/d + 1/f, где F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — расстояние до изображения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тонкая линза — линза, толщиной которой в задачах пренебрегают по сравнению с радиусами её поверхностей и расстояниями до предмета и изображения. Это упрощение позволяет считать, что преломление происходит около одной плоскости. Модель удобна потому, что связывает все основные расстояния одной формулой.
Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. На ней находятся оптический центр и главные фокусы. Она нужна как основная линия для построения хода лучей и отсчёта расстояний.
Главный фокус — точка, в которой после линзы сходятся лучи, шедшие параллельно главной оптической оси, или их продолжения. Расстояние от оптического центра до фокуса называют фокусным расстоянием и обозначают F. По этому расстоянию определяют, насколько сильно линза изменяет направление лучей.
Оптическая сила линзы — величина, равная обратному фокусному расстоянию: D = 1/F, если F измерено в метрах. Её единица — диоптрия, то есть м⁻¹. Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем больше оптическая сила линзы.
Собирающая линза преломляет параллельные главной оси лучи так, что они сходятся в действительном главном фокусе. Поэтому для неё фокусное расстояние считают положительным: F > 0. Если лучи после линзы расходятся, их продолжения пересекаются в мнимом фокусе, что характерно для рассеивающей линзы и даёт F < 0.
В модели тонкой линзы положение изображения определяется не только самой линзой, но и местом предмета. Чем дальше предмет от собирающей линзы, тем ближе к фокусу обычно располагается изображение; при приближении предмета к фокусу изображение удаляется. Количественно это описывает формула 1/F = 1/d + 1/f, где d — расстояние от предмета до линзы, а f — расстояние от линзы до изображения.
Знаки в формуле сохраняют информацию о характере изображения. Расстояние до действительного изображения считают положительным, потому что лучи действительно пересекаются после линзы, а до мнимого — отрицательным, поскольку пересекаются только продолжения лучей. Фокусное расстояние имеет знак, связанный с типом линзы: у собирающей F положительно, у рассеивающей отрицательно.
Чтобы найти неизвестное расстояние, сначала записывают формулу с известными знаками, затем переносят нужный член и выполняют вычисления. Например, для изображения: 1/f = 1/F − 1/d, поэтому f = 1/(1/F − 1/d). Для предмета аналогично: d = 1/(1/F − 1/f); отрицательный результат нужно истолковать, а не заменять произвольно на положительный.
Формула связана с увеличением линзы. Модуль линейного увеличения равен отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |Г| = |f/d|. При записи Г = −f/d отрицательный знак означает перевёрнутое изображение, а положительный — прямое; величина модуля показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета.
| Величина | Обозначение и смысл | Знак и единица измерения |
|---|---|---|
| Фокусное расстояние | F — расстояние от оптического центра до главного фокуса | F > 0 для собирающей, F < 0 для рассеивающей; м, см |
| Расстояние до предмета | d — расстояние от предмета до оптического центра линзы | Обычно d > 0; м, см |
| Расстояние до изображения | f — расстояние от линзы до изображения | f > 0 для действительного, f < 0 для мнимого; м, см |
| Оптическая сила | D = 1/F — способность линзы преломлять свет | Знак как у F; диоптрия, м⁻¹ |
| Формула тонкой линзы | 1/F = 1/d + 1/f | Все расстояния должны быть в одинаковых единицах |
Вычисления можно проводить в сантиметрах, если требуется найти расстояние, но все три расстояния должны быть выражены одинаково. Для оптической силы фокусное расстояние обязательно переводят в метры. Сначала определите тип линзы и изображения, затем поставьте соответствующие знаки.
Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Нужно найти расстояние до изображения. Для собирающей линзы F = 10 см, а для обычного действительного предмета d = 30 см.
Ответ: изображение находится в 15 см от линзы и является действительным. Оно расположено за двойным фокусным расстоянием, поэтому будет уменьшенным и перевёрнутым.
Предмет находится в 20 см от рассеивающей линзы, для которой F = −10 см. Требуется определить положение изображения и его тип. Расстояние до предмета принимаем положительным: d = 20 см.
Ответ: f ≈ −6,7 см; изображение мнимое, прямое и уменьшенное.
Собирающая линза с F = 12 см даёт изображение на расстоянии f = 36 см. Найдём расстояние до предмета и увеличение. Поскольку f положительно, изображение действительное.
Ответ: предмет находится в 18 см от линзы; увеличение по модулю равно 2, изображение действительное, увеличенное вдвое и перевёрнутое.
Подстановка расстояний без знаков. Часто все числа берут положительными, потому что расстояние в быту представляют как обычную длину. Но мнимое изображение и рассеивающая линза требуют отрицательных значений. Проверьте тип линзы и знак найденного f перед вычислениями.
Смешение f и F. Буквы похожи, поэтому расстояние до изображения принимают за свойство линзы. F неизменно для данной линзы, а f меняется при перемещении предмета. Полезно сначала подписать рядом смысл каждой величины.
Неверный расчёт оптической силы. Фокусное расстояние иногда подставляют в сантиметрах и получают число, ошибочно называя его диоптриями. В формуле D = 1/F расстояние должно быть в метрах. Перед вычислением переведите, например, 20 см в 0,20 м.
Предположение, что изображение всегда действительное. У линзы могут появляться мнимые изображения, особенно у рассеивающей линзы или у собирающей при расположении предмета между линзой и фокусом. Отрицательное значение f прямо указывает на мнимое изображение.
Для понимания формулы нужны законы преломления света, свойства собирающих и рассеивающих линз и построение изображений характерными лучами. Геометрические построения помогают увидеть, почему знак и величина f имеют именно такой смысл.
Формула тонкой линзы используется при изучении глаза и очков, фотоаппарата, проектора и других оптических приборов. В каждом случае она связывает свойства линзы с положением предмета и получаемого изображения.
Почему линзу называют тонкой, если у неё есть толщина?
Тонкой называют не обязательно линзу с нулевой толщиной, а физическую модель. Если толщина намного меньше радиусов кривизны поверхностей и расстояний до предмета и изображения, ею можно пренебречь.
Как понять, какое значение фокусного расстояния подставлять в формулу?
Для собирающей линзы берут F > 0, а для рассеивающей — F < 0. Численное значение равно расстоянию от оптического центра до главного фокуса.
Почему расстояние до мнимого изображения берут со знаком минус?
Мнимое изображение возникает на продолжении расходящихся лучей, а не в точке их реального пересечения. В принятой системе знаков это положение находится со стороны предмета, поэтому f < 0.
Можно ли применять формулу тонкой линзы к рассеивающей линзе?
Да, формула применима и к рассеивающей линзе. Нужно только учесть отрицательное фокусное расстояние, после чего отрицательное значение f укажет на мнимое изображение.
Как по результату вычисления определить, где находится изображение?
Знак найденного f показывает тип изображения: f > 0 означает действительное изображение, а f < 0 — мнимое. Модуль f показывает расстояние от линзы до изображения.
6. Формула тонкой линзы
