5. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Увеличение линзы — отношение линейного размера изображения к соответствующему размеру предмета. Оно показывает не прибавку длины, а результат сравнения двух размеров. По увеличению можно сразу понять, стало изображение больше, меньше или осталось таким же.

Линейное увеличение обозначают Γ и вычисляют по формуле Γ = H/h. Это безразмерная величина, потому что в числителе и знаменателе стоят длины, например сантиметры. Если учитывают направление изображения, знак Γ может быть отрицательным.

Высота изображения — его линейный размер H, а высота предмета обозначается h. В задачах эти величины обычно измеряют в сантиметрах или метрах, но перед подстановкой их нужно выражать в одинаковых единицах. Сравнение H и h позволяет найти увеличение или восстановить неизвестный размер.

Действительное и мнимое изображение различают по возможности получить изображение на экране. Действительное изображение создаётся пересекающимися лучами и может быть спроецировано, а мнимое возникает при пересечении продолжений лучей и на экране не получается. Это связано с направлением изображения: действительное изображение собирающей линзы обычно перевёрнутое, мнимое — прямое.

Как это устроено

Размер изображения сравнивают с размером предмета именно отношением H/h, потому что отношение отвечает на вопрос, во сколько раз одна длина отличается от другой. Разность H − h показывает только, на сколько единиц изменился размер, но не позволяет сравнить разные предметы. Единицы измерения сокращаются: например, 6 см / 2 см = 3, поэтому увеличение равно 3 и не имеет единиц.

Связь с расстояниями получается из подобных треугольников, образованных главным лучом и оптической осью. У этих треугольников соответствующие стороны пропорциональны, поэтому H/h = b/a по модулю. Здесь a измеряют от предмета до оптического центра линзы, а b — от линзы до изображения, так что |Γ| = b/a.

При удалении предмета от собирающей линзы расстояние a увеличивается, но положение изображения меняется по формуле тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b. Поэтому меняется и отношение b/a: оно может быть больше единицы, равно единице или меньше единицы. Удаление предмета не означает автоматического уменьшения изображения во всех случаях: результат определяется тем, где предмет находится относительно F и 2F.

Если предмет дальше двойного фокуса 2F, изображение возникает между F и 2F и уменьшается. В точке 2F размеры совпадают, а между F и 2F изображение уходит дальше 2F и увеличивается. При положении предмета между линзой и F лучи после линзы расходятся, поэтому их продолжения дают мнимое, прямое и увеличенное изображение.

Для перевёрнутого изображения удобно разделять размер и направление. Модуль |Γ| всегда положителен и показывает, во сколько раз изменился размер, а знак Γ в принятой знаковой записи указывает ориентацию: Γ < 0 означает перевёрнутое изображение. Поэтому фраза увеличение в 3 раза означает |Γ| = 3, а не обязательно Γ = 3.

Положение предмета и увеличение собирающей линзы

Таблицу используют так: сначала находят положение предмета относительно F и 2F, затем в соответствующей строке читают положение, размер и тип изображения. Модуль увеличения сразу показывает степень изменения размера, а направление помогает отличить прямое изображение от перевёрнутого. В строке с фокусом конечное значение увеличения не указывают, потому что изображение удаляется на бесконечность.

Разбор задач

Задача 1

Предмет высотой 2 см находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы, её фокусное расстояние равно 10 см. Нужно найти расстояние до изображения, его высоту и увеличение. Так как a = 30 см, F = 10 см, предмет расположен дальше 2F, поэтому изображение должно быть действительным, перевёрнутым и уменьшенным.

1. По формуле тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b получаем 1/b = 1/10 − 1/30 = 1/15, поэтому b = 15 см.
2. Модуль увеличения равен |Γ| = b/a = 15/30 = 0,5. Значит, изображение в два раза меньше предмета.
3. Высота изображения H = |Γ|h = 0,5 · 2 см = 1 см. Поскольку изображение действительное, оно перевёрнутое.

Ответ: b = 15 см, H = 1 см, |Γ| = 0,5; изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 2

Предмет высотой 3 см расположен на расстоянии 20 см от линзы с фокусным расстоянием 10 см. Требуется определить размер и тип изображения. Поскольку a = 20 см = 2F, предмет находится в точке двойного фокуса.

1. Для положения в 2F изображение также формируется в 2F, то есть на расстоянии 20 см от линзы.
2. Из таблицы или построения следует, что |Γ| = 1, поэтому H = |Γ|h = 1 · 3 см = 3 см.
3. Предмет находится дальше фокуса, значит изображение действительное; оно перевёрнутое, хотя по размеру равно предмету.

Ответ: размер изображения 3 см; оно действительное, перевёрнутое и расположено в точке 2F.

Задача 3

Собирающая линза с F = 10 см должна дать действительное изображение, увеличенное в 5 раз. Нужно найти расстояние от линзы до предмета. Действительное увеличенное изображение образуется, когда предмет находится между F и 2F, поэтому a будет немного больше 10 см.

1. Из условия |Γ| = b/a = 5 следует b = 5a.
2. Подставим это в формулу линзы: 1/10 = 1/a + 1/(5a) = 6/(5a). Отсюда 5a = 60 и a = 12 см.
3. Проверка: b = 5a = 60 см, а предмет действительно расположен между 10 и 20 см, как требовалось.

Ответ: предмет нужно поместить на расстоянии 12 см от линзы; изображение будет действительным, перевёрнутым и увеличенным в 5 раз.

Типичные ошибки

Некоторые считают увеличением разность H − h, потому что слово увеличение напоминает прибавку. Но увеличение отвечает на вопрос во сколько раз, поэтому используют отношение H/h. Проверка проста: результат должен быть безразмерным числом, а не длиной в сантиметрах.

Другая ошибка — брать расстояние между предметом и изображением вместо a или b. В формуле |Γ| = b/a оба расстояния отсчитывают от оптического центра линзы. Полезно подписать на схеме именно расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения.

Иногда забывают сопоставить число с размером изображения: |Γ| < 1 означает уменьшение, а |Γ| > 1 — увеличение. Число 0,4 не означает увеличение в 4 раза, оно означает размер 0,4 от исходного. При |Γ| = 1 изображение равно предмету.

Мнимое изображение ошибочно считают невозможным или пытаются получить его на экране. Оно существует как результат продолжения расходящихся лучей и наблюдается глазом, но экран его не фиксирует. Проверка по положению предмета показывает: между линзой и фокусом собирающая линза даёт мнимое, прямое и увеличенное изображение.

Связь с другими темами

До изучения увеличения нужно уметь строить изображения в тонкой линзе, знать фокусное расстояние и применять формулу линзы. Эти знания позволяют определить положение изображения, а затем найти его размер. Без различения F и 2F невозможно правильно выбрать строку таблицы.

Формула |Γ| = b/a основана на подобии треугольников и пропорциях. Поэтому важно уверенно работать с отношениями величин и следить за одинаковыми единицами измерения. Геометрическое построение объясняет, откуда берётся расчётная формула.

Увеличение используется при изучении лупы, микроскопа, телескопа и фотоаппарата. В этих приборах важно не только получить изображение, но и управлять его размером и типом. Поэтому понимание Γ связывает геометрическую оптику с устройством практических оптических систем.

Что запомнить

• Линейное увеличение определяется отношением размера изображения к размеру предмета: |Γ| = H/h.
• Увеличение линзы — безразмерная величина.
• Для тонкой линзы модуль увеличения равен отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |Γ| = b/a.
• При |Γ| > 1 изображение увеличенное, при |Γ| < 1 — уменьшенное, при |Γ| = 1 — равное предмету.
• Собирающая линза даёт действительное перевёрнутое изображение, если предмет находится дальше фокуса.
• Предмет между линзой и фокусом даёт мнимое, прямое и увеличенное изображение.
• При расположении предмета в фокусе конечного изображения на экране нет.