4. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Увеличение линзы — отношение линейного размера изображения к размеру предмета; его обозначают греческой буквой Γ и записывают формулой Γ = H/h. Здесь H — размер изображения, h — размер предмета. Эта величина нужна, чтобы сравнить изображения разного масштаба и вычислить, во сколько раз изображение изменилось.

Линейный размер предмета h и линейный размер изображения H — это длины, измеренные перпендикулярно главной оптической оси, то есть прямой, проходящей через центр линзы и перпендикулярной её плоскости. Например, для вертикальной стрелки размером будет её высота, а не длина вдоль оси. Одинаковое направление измерения позволяет правильно сравнивать предмет и изображение.

Расстояние от предмета до линзы обозначают a, а расстояние от линзы до изображения — b. Вместе с фокусным расстоянием эти величины описывают, где находятся предмет и изображение. Они позволяют связать увеличение с положениями предмета и изображения, а также находить неизвестное расстояние с помощью формулы тонкой линзы.

Действительное изображение возникает там, где пересекаются сами лучи после линзы; такое изображение можно получить на экране. Мнимое изображение возникает там, где пересекаются продолжения лучей, хотя сами лучи в этой точке не проходят. Поэтому мнимое изображение нельзя собрать на экране, но его можно увидеть, глядя через линзу.

Как это устроено

Увеличение сравнивает два размера, поэтому его получают делением высоты изображения на высоту предмета: Γ = H/h. Если отношение больше единицы, изображение больше предмета; если меньше единицы — меньше него. Значение увеличения само по себе не сообщает, прямое изображение или перевёрнутое: для этого нужно проследить ход лучей.

Чтобы связать размеры с расстояниями, рассматривают луч, проходящий через оптический центр линзы: в тонкой линзе он практически не меняет направления. Из предмета и изображения получаются подобные треугольники, поэтому отношение их высот равно отношению расстояний: Γ = b/a для модулей. Важно использовать согласованные единицы: если a задано в сантиметрах, b тоже должно быть в сантиметрах. Тогда отношение b/a безразмерно, как и увеличение.

У собирающей линзы лучи от предмета, стоящего дальше фокуса, после преломления действительно сходятся, поэтому изображение получается действительным и перевёрнутым. Если предмет дальше двойного фокусного расстояния, пересечение лучей возникает между фокусом и двойным фокусом: изображение меньше предмета. При расстоянии до предмета ровно 2F изображение также находится на 2F и равно ему по размеру, а при F < a < 2F формируется дальше 2F и увеличивается.

Если предмет поставить в фокус собирающей линзы, лучи после неё идут параллельно и не пересекаются на конечном расстоянии: изображение считается расположенным в бесконечности. Когда предмет находится ближе к линзе, чем фокус, лучи после преломления расходятся, но их продолжения назад пересекаются со стороны предмета. Так возникает мнимое прямое изображение; поскольку оно расположено дальше от линзы, чем предмет, оно увеличенное и не может быть получено на экране.

Рассеивающая линза заставляет лучи расходиться, поэтому после неё они не пересекаются. Их продолжения назад сходятся между линзой и предметом, образуя мнимое изображение. Оно остаётся прямым, а так как находится ближе к линзе, чем предмет, оказывается уменьшенным; это объясняет, почему свойства такого изображения отличаются от изображений собирающей линзы.

Изображение в собирающей линзе при разных положениях предмета

Сначала найдите строку по расстоянию от предмета до линзы, затем прочитайте, где образуется изображение и каким оно будет. F здесь обозначает фокусное расстояние, а 2F — двойное фокусное расстояние. Таблица относится только к собирающей линзе; рассеивающая линза для действительного предмета даёт другой результат.

Разбор задач

1. Увеличение и высота действительного изображения

Предмет высотой 2 см находится в 30 см от собирающей линзы, а его действительное изображение — в 60 см от линзы. Найдите увеличение и высоту изображения. Так как известны оба расстояния, сначала можно сравнить их, а затем определить размер изображения. Нужно также отдельно указать ориентацию действительного изображения.

1. Запишем данные: h = 2 см, a = 30 см, b = 60 см. Для модулей расстояний используем формулу Γ = b/a. Единицы у расстояний одинаковые.
2. Вычислим увеличение: Γ = 60/30 = 2. Значит, изображение вдвое больше предмета. Это отношение не определяет его ориентацию.
3. Найдём высоту: H = Γh = 2 · 2 см = 4 см. Действительное изображение собирающей линзы перевёрнуто. Ответ: Γ = 2, H = 4 см, изображение перевёрнутое.

2. Положение и размер изображения

Собирающая линза имеет фокусное расстояние 10 см, высота предмета равна 3 см, а расстояние до линзы — 15 см. Требуется найти положение и размер изображения. Сначала используем формулу тонкой линзы, потому что расстояние до изображения пока неизвестно. Затем определим увеличение и высоту, помня, что предмет расположен между F и 2F.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/f = 1/a + 1/b. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/b = 1/f − 1/a = 1/10 − 1/15 = 1/30. Следовательно, b = 30 см.
2. Положительное значение b означает, что изображение действительное и находится по другую сторону линзы от предмета. Рассчитаем увеличение по модулям: Γ = b/a = 30/15 = 2. Такое увеличение согласуется с положением предмета между F = 10 см и 2F = 20 см.
3. Найдём размер изображения: H = Γh = 2 · 3 см = 6 см. Действительное изображение перевёрнуто. Ответ: изображение находится в 30 см от линзы, его высота — 6 см.

3. Предмет внутри фокусного расстояния

Предмет высотой 4 см находится в 8 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 12 см. Нужно определить положение, размер и характер изображения. Здесь a меньше f, поэтому стоит ожидать мнимое изображение. Знак расстояния b покажет, по какую сторону линзы оно находится.

1. Подставим значения в формулу тонкой линзы: 1/b = 1/f − 1/a = 1/12 − 1/8 = −1/24. Отсюда b = −24 см. Минус означает, что изображение находится со стороны предмета и является мнимым.
2. Для увеличения используем модуль расстояния: Γ = |b|/a = 24/8 = 3. Размер изображения равен H = Γh = 3 · 4 см = 12 см. Следовательно, оно втрое больше предмета.
3. При a < f лучи после линзы расходятся, а пересекаются только их продолжения назад. Поэтому изображение мнимое и не собирается на экране; поскольку оно находится на продолжении лучей со стороны предмета, оно прямое. Ответ: в 24 см от линзы со стороны предмета, H = 12 см, изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перевернуть отношение расстояний и записать Γ = a/b. Её допускают, если запоминают формулу без связи с подобными треугольниками; для модулей верно Γ = b/a. Проверьте результат по смыслу: при удалённом изображении его размер относительно предмета должен соответствовать большему отношению расстояний.

Вторая ошибка — считать, что Γ > 1 обязательно означает действительное изображение. Увеличение описывает размер, а действительность зависит от пересечения самих лучей; например, изображение собирающей линзы внутри фокуса тоже увеличенное, но мнимое. Чтобы проверить себя, независимо укажите два свойства: размер и тип изображения.

Третья ошибка — не учитывать переворот действительного изображения собирающей линзы. Отношение размеров обычно записывают положительным, поэтому знак Γ здесь не сообщает об ориентации; её определяют отдельно по ходу лучей или положению предмета. В ответе полезно прямо написать «перевёрнутое» или «прямое», даже если численное значение увеличения уже найдено.

Четвёртая ошибка — переносить таблицу для собирающей линзы на рассеивающую. Таблица описывает, куда сходятся лучи именно после собирающей линзы, а рассеивающая линза разводит их в стороны. Перед выбором способа решения проверьте тип линзы и постройте ход лучей: для рассеивающей линзы изображение действительного предмета мнимое, прямое и уменьшенное.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в увеличении, нужно знать, как преломляются лучи в собирающей и рассеивающей линзах, что называют главным фокусом и фокусным расстоянием. Формула тонкой линзы помогает находить положение изображения, а формула увеличения — его размер. Эти знания применяются при расчётах в задачах и объясняют работу лупы, фотоаппарата, проектора и других оптических приборов.

Что запомнить

• Увеличение линзы Γ = H/h показывает отношение размера изображения к размеру предмета.
• Для модулей линейных размеров и расстояний Γ = b/a.
• При Γ > 1 изображение увеличенное, при Γ < 1 — уменьшенное.
• Собирающая линза при расположении предмета за фокусом создаёт действительное перевёрнутое изображение.
• Если предмет находится внутри фокусного расстояния собирающей линзы, изображение мнимое, прямое и увеличенное.
• Рассеивающая линза для действительного предмета создаёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.