4. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Увеличение линзы — отношение линейного размера изображения к соответствующему размеру предмета. Его обозначают буквой Γ и записывают Γ = H/h, где H — высота изображения, а h — высота предмета. Величина нужна, чтобы количественно описать результат действия линзы, а не просто сказать, что изображение стало больше или меньше.

Линейное, или поперечное, увеличение — отношение высоты изображения к высоте предмета с учётом возможного знака. Модуль |Γ| отвечает только за соотношение размеров, а знак показывает ориентацию изображения относительно предмета. Поэтому в задачах на размер используют модуль, а при описании изображения учитывают и знак.

Расстояние от предмета до линзы обозначают a, а расстояние от изображения до линзы — b. Оба расстояния отсчитывают от оптического центра тонкой линзы вдоль главной оптической оси. При обычном геометрическом расчёте модуль увеличения связан с ними формулой |Γ| = b/a: чем дальше изображение по сравнению с предметом, тем оно крупнее.

Как это устроено

Предмет, его изображение и главная оптическая ось образуют два треугольника с общим углом у оптического центра линзы. Ещё один угол у них равен как вертикальный, поэтому треугольники подобны. Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: |Γ| = H/h = b/a.

Модуль увеличения показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета. Если |Γ| > 1, числитель H больше знаменателя h, поэтому изображение увеличенное; при |Γ| < 1 оно уменьшенное. Равенство |Γ| = 1 означает одинаковые линейные размеры, хотя изображение всё равно может быть перевёрнутым.

Знак увеличения появляется из-за ориентации изображения. Действительное изображение у собирающей линзы обычно получается перевёрнутым относительно предмета, поэтому в принятой системе знаков Γ отрицательно; мнимое изображение обычно прямое, и Γ положительно. Когда сравнивают только размеры, знак не учитывают и используют |Γ|.

Для собирающей линзы расстояние до изображения находят из формулы тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b, где F — фокусное расстояние. Если предмет находится дальше фокуса, то b = Fa/(a − F), а модуль увеличения равен |Γ| = b/a = F/(a − F). Значит, при изменении положения предмета меняются b и размер изображения: приближение предмета к фокусу приводит к сильному увеличению изображения.

По чертежу увеличение находят двумя равноправными способами. Можно измерить высоты предмета и изображения и вычислить |Γ| = H/h либо измерить отрезки a и b от оптического центра и использовать |Γ| = b/a. Все измерения нужно проводить в одной и той же шкале, а ориентацию изображения определить отдельно по его направлению.

Увеличение линзы: смысл и расчёт

Сначала определите, какие величины известны: высоты или расстояния. Затем выберите соответствующую формулу и сравните результат с единицей. Если требуется описать перевёрнутость или прямое положение, дополнительно укажите знак увеличения.

Разбор задач

Задача 1

Высота предмета h = 4 см, а высота изображения H = 12 см. Требуется найти модуль увеличения и определить размер изображения относительно предмета.

1. Используем формулу |Γ| = H/h.
2. Подставляем данные: |Γ| = 12 см/4 см = 3.
3. Сравниваем результат с единицей: 3 > 1, значит изображение больше предмета.

Ответ: |Γ| = 3, изображение увеличенное в 3 раза.

Задача 2

Предмет находится на расстоянии a = 30 см от линзы, а его действительное изображение — на расстоянии b = 60 см. Нужно определить увеличение и ориентацию изображения.

1. Для размеров используем отношение расстояний: |Γ| = b/a.
2. Получаем |Γ| = 60 см/30 см = 2.
3. Действительное изображение у собирающей линзы обычно перевёрнуто, поэтому с учётом знака Γ = −2.

Ответ: модуль увеличения равен 2, изображение увеличенное вдвое и перевёрнутое.

Задача 3

Собирающая линза имеет F = 10 см, предмет поставлен на расстоянии a = 15 см. Сначала найдём положение изображения, затем его увеличение.

1. Из формулы тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b выражаем b: b = Fa/(a − F).
2. Подставляем значения: b = 10 · 15/(15 − 10) см = 30 см.
3. Находим модуль увеличения: |Γ| = b/a = 30/15 = 2.
4. Так как предмет расположен дальше фокуса, изображение действительное и перевёрнутое, поэтому Γ = −2.

Ответ: изображение находится на расстоянии 30 см от линзы; оно увеличенное в 2 раза и перевёрнутое.

Типичные ошибки

Меняют местами расстояния и записывают a/b вместо b/a. Так получают величину, обратную увеличению, потому что в подобии треугольников высоте изображения соответствует расстояние b. Проверьте себя: если изображение дальше от линзы, чем предмет, его увеличение при прочих условиях должно быть больше единицы.

Иногда увеличение считают отношением площадей или объёмов. Это неверно: линейное увеличение сравнивает длины, например высоты, поэтому используется H/h. Проверка проста: единицы измерения в отношении двух длин должны сократиться.

Забывают различать модуль и знак увеличения. Модуль отвечает за размер, а знак — за прямое или перевёрнутое положение изображения. Сначала найдите |Γ|, затем определите ориентацию по условию или построению.

Подставляют величины в разных единицах или путают a и b с фокусным расстоянием F. Перед расчётом приведите все расстояния к сантиметрам или метрам и подпишите, к чему относится каждое число. После решения проверьте, согласуется ли результат с положением предмета относительно фокуса.

Связь с другими темами

Для работы с увеличением нужно знать построение изображений в тонкой линзе, главную оптическую ось, фокус и формулу тонкой линзы. Эти знания объясняют, где возникает изображение и почему его размер зависит от положения предмета.

Понятие увеличения используется при решении задач на линзы и при изучении оптических приборов. Особенно важны такие задачи для понимания работы лупы и микроскопа, где получение увеличенного изображения является основной целью.

Что запомнить

• Увеличение линзы характеризует изменение линейного размера изображения.
• Модуль увеличения равен отношению высоты изображения к высоте предмета: |Γ| = H/h.
• Для тонкой линзы модуль увеличения равен отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |Γ| = b/a.
• Если модуль увеличения больше 1, изображение увеличенное.
• Если модуль увеличения меньше 1, изображение уменьшенное.
• Знак увеличения может указывать, прямое изображение или перевёрнутое.