5. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Увеличение линзы — это отношение линейного размера изображения к соответствующему размеру предмета. Его обозначают Γ (гамма) и вычисляют по формуле Γ = H/h, где H — высота изображения, а h — высота предмета. Эта величина нужна, чтобы сравнить изображение с предметом: например, понять, будет ли оно в два раза крупнее или вдвое меньше.

Линейным размером предмета и изображения называют их высоту, измеренную перпендикулярно главной оптической оси — прямой, проходящей через центр линзы. Если в задаче предмет или изображение изображены стрелками, их длины и есть h и H. Такое обозначение позволяет говорить об увеличении независимо от того, что именно рассматривается: буква, предмет или его изображение.

Расстояние a — это расстояние от предмета до линзы, а расстояние b — от линзы до изображения; оба отсчитывают от оптического центра. Для тонкой линзы модуль увеличения равен |Γ| = b/a, если рассматривают действительное изображение и используют положительные расстояния. Эта формула помогает найти размер изображения или расстояние до него, когда напрямую нужную величину определить сложно.

Как это устроено

Линза меняет направления лучей, исходящих от разных точек предмета, поэтому после преломления лучи могут сойтись в точках изображения или казаться вышедшими из них. Верхняя и нижняя точки предмета дают верхнюю и нижнюю точки изображения. Расстояние между ними и есть размер изображения, который сравнивают с размером предмета.

Связь размеров с расстояниями появляется из геометрии хода лучей. Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, в приближении не меняет направления; он соединяет соответствующие точки предмета и изображения. Вместе с главной оптической осью он образует два подобных треугольника, поэтому отношение высот равно отношению расстояний: |H|/h = b/a. Именно подобие, а не отдельное свойство увеличительной линзы, объясняет формулу увеличения.

Если изображение находится дальше от линзы, чем предмет, отношение b/a больше единицы, и изображение получается крупнее. Если изображение расположено ближе, чем предмет, это отношение меньше единицы, и изображение уменьшено. Размер зависит не только от типа линзы, но и от взаимного расположения предмета, линзы и изображения.

Для собирающей линзы действительное изображение обычно перевёрнуто: верхняя точка предмета оказывается по другую сторону оптической оси. Если учитывать направление, его записывают знаком увеличения: Γ = −H/h для перевёрнутого изображения, когда H и h обозначают положительные длины. Модуль |Γ| по-прежнему сообщает только о сравнении размеров, поэтому знак и модуль отвечают на разные вопросы.

У тонкой линзы увеличение удобно использовать вместе с формулой 1/F = 1/a + 1/b, где F — фокусное расстояние. Сначала одно уравнение помогает определить неизвестное расстояние, а затем отношение b/a даёт увеличение; либо известное увеличение позволяет связать a и b. Следует различать действительное изображение, в котором сходятся сами лучи, и мнимое, получаемое продолжением лучей: при работе со знаками расстояний для них применяют выбранное в задаче правило, а не механически подставляют положительные числа.

Зависимость увеличения от расстояний

В таблице сравниваются модули расстояний и размеров: знак увеличения в ней не рассматривается. Найдите, какое из расстояний больше, и выберите соответствующую строку. Если требуется определить, прямое изображение или перевёрнутое, одной таблицы недостаточно — нужно учитывать ход лучей или знак Γ.

Разбор задач

Задача. Предмет высотой 3 см находится на расстоянии 20 см от тонкой линзы. Действительное изображение получено на расстоянии 60 см от линзы. Найдите модуль увеличения, высоту изображения и укажите его ориентацию. В условии приведены оба расстояния, поэтому можно сразу применить геометрическое соотношение для тонкой линзы.

1. Запишем данные: h = 3 см, a = 20 см, b = 60 см. Все длины уже выражены в сантиметрах, значит, переводить единицы не требуется.
2. Найдём модуль увеличения по отношению расстояний: |Γ| = b/a = 60/20 = 3. Получилось число больше единицы, поэтому изображение в три раза крупнее предмета.
3. Проверим результат через отношение размеров: H = |Γ|h = 3 · 3 см = 9 см. Значит, высота изображения равна 9 см; это согласуется с тем, что увеличение равно трём.
4. Укажем ориентацию. Изображение действительное, полученное собирающей линзой, перевёрнуто относительно предмета, поэтому при учёте знака Γ = −3. Если спрашивают только размер, записывают модуль: |Γ| = 3.

Ответ: модуль увеличения равен 3, высота изображения — 9 см, изображение действительное и перевёрнутое. Если в аналогичной задаче неизвестно расстояние до изображения, но даны фокусное расстояние, сначала используют формулу тонкой линзы. После нахождения b вычисляют увеличение, не забывая проверить, что расстояния отсчитаны от линзы.

Типичные ошибки

• Путают отношение размеров и переворачивают его: пишут Γ = h/H. Так могут сделать, потому что предмет и изображение обозначены похожими буквами. Проверьте определение: в числителе всегда размер изображения, а в знаменателе — размер предмета.

• Считают, что увеличение измеряется в сантиметрах. Ошибка возникает из-за того, что в формуле стоят высоты; однако одинаковые единицы сокращаются, и результат безразмерный. Для самопроверки подставьте обе высоты в сантиметрах или обе в метрах: ответ должен совпасть.

• По положительному модулю делают вывод, что изображение прямое. Модуль характеризует только размер, поэтому направление из него не узнать. Проверьте, требуется ли в задаче знак: отрицательное Γ указывает на перевёрнутое изображение, положительное — на прямое.

• Подставляют в формулу любые расстояния, не разбираясь, откуда их отсчитывают. Из-за этого можно использовать расстояние от предмета до экрана вместо расстояния от линзы до изображения. Нарисуйте ось и отметьте линзу, предмет и изображение: нужные отрезки начинаются у оптического центра.

Связь с другими темами

Увеличение опирается на построение изображений в тонкой линзе: чтобы определить, где находится изображение и как оно ориентировано, используют ход характерных лучей. Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения, а формула увеличения добавляет к этому сведения о размере. Подобие треугольников объясняет геометрическую основу этой связи. Те же идеи применяются при изучении оптических приборов, например лупы и микроскопа, где важно получить изображение нужного размера.

Что запомнить

• Линейное увеличение: Γ = H/h; модуль |Γ| сравнивает размеры изображения и предмета.
• Для тонкой линзы модуль увеличения равен отношению расстояний: |Γ| = b/a.
• |Γ| > 1 — изображение увеличенное, |Γ| < 1 — уменьшенное, |Γ| = 1 — равное предмету.
• Знак увеличения связан с ориентацией: отрицательный — перевёрнутое изображение, положительный — прямое.
• Перед расчётом уточни, от каких точек отсчитываются расстояния и нужно ли учитывать знак.