4. Построение изображений в линзах

Определения и обозначения

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы. На ней отмечают оптический центр и фокусы. Эта линия служит ориентиром для построений: положение линзы и предмета обычно задают относительно неё. Для краткости её часто называют главной осью.

Оптический центр линзы — точка, через которую луч в тонкой линзе проходит практически без изменения направления. Её обычно обозначают O и считают началом отсчёта расстояний до предмета и изображения. Это позволяет провести один из главных лучей без дополнительных построений.

Фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после линзы собираются лучи, шедшие параллельно оси, или их продолжения. Фокус собирающей линзы действительный: в нём встречаются сами лучи. У рассеивающей линзы встречаются продолжения лучей, поэтому её фокус мнимый. Фокусы лежат по обе стороны линзы.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её фокуса. Его обозначают F или f в зависимости от принятой записи; на чертеже важна длина отрезка OF. По этому расстоянию отмечают фокусы, а также точки 2F, нужные для типовых построений. Чем меньше фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет ход лучей.

Как это устроено

Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, на чертеже считают не преломляющимся. На самом деле он меняет направление при входе в линзу и ещё раз при выходе из неё. Для луча через оптический центр эти два отклонения почти компенсируются, поэтому итоговое направление практически совпадает с начальным. Это упрощение позволяет сразу соединить точку предмета с точкой изображения прямой линией через O.

Если луч падает на собирающую линзу параллельно главной оси, после преломления он проходит через фокус. Линза меняет направление лучей так, что параллельный пучок сходится в одной точке; эта точка и задаёт фокус. У рассеивающей линзы тот же параллельный пучок, наоборот, расходится. Поэтому преломлённый луч не проходит через фокус, но его продолжение назад проходит через фокус со стороны предмета.

Обратное правило следует из обратимости хода световых лучей: если поменять местами направление распространения света, путь луча остаётся тем же. Поэтому луч, направленный через фокус собирающей линзы к линзе, после неё идёт параллельно главной оси. Для рассеивающей линзы применяют ту же идею, учитывая, что её фокус мнимый: продолжение луча мысленно направляют через фокус, а после линзы луч идёт параллельно оси. Правило помогает выбрать второй удобный луч при построении.

Чтобы найти изображение точки, проводят от неё два луча, ход которых легко определить по правилам линз. Точка пересечения лучей или их продолжений и будет изображением исходной точки: оба луча вышли из неё и после линзы связаны с одним и тем же изображением. Один луч можно провести через оптический центр, другой — параллельно оси или через фокус. Двух лучей достаточно, потому что их пересечение задаёт положение точки на плоскости чертежа.

Вид изображения определяют по тому, какие линии пересеклись. Если после линзы сходятся сами лучи, в точку изображения действительно приходит свет, и изображение называют действительным. Такие лучи можно принять экраном. Если расходящиеся лучи не встречаются, но пересекаются их продолжения назад, наблюдателю кажется, что свет пришёл из этой точки; изображение мнимое и на экране его получить нельзя. Поэтому продолжения лучей важно отличать от самих лучей.

Изображения предмета в собирающей линзе при разных расстояниях до неё

Для применения таблицы сначала отметьте на главной оси точки F и 2F с обеих сторон линзы, затем найдите, где расположен предмет. Строка показывает ожидаемое положение и свойства изображения, которые можно проверить построением лучей. В точке F лучи после линзы параллельны, поэтому конечную точку изображения на обычном чертеже указать нельзя.

Разбор задач

Предмет дальше точки 2F

Условие. Постройте изображение стрелки перед собирающей линзой, если стрелка расположена дальше точки 2F. Определите положение, вид и размер изображения. Удобно начать с верхушки стрелки, потому что положение её изображения задаст верх изображения предмета.

1. От верхушки проведите луч параллельно главной оси; после собирающей линзы он пройдёт через дальний фокус.
2. Проведите второй луч через оптический центр: он продолжит путь по прямой. Точка пересечения этих лучей окажется ниже оси и между F и 2F.
3. Из найденной точки проведите перпендикуляр к оси до неё: так задаётся нижний конец изображения стрелки. Сравните его длину с длиной исходной стрелки.

Ответ. Изображение находится между F и 2F по другую сторону линзы. Оно действительное, поскольку пересекаются сами преломлённые лучи, и перевёрнутое, поскольку верхушка оказалась ниже оси. Его размер меньше размера предмета.

Предмет между F и 2F

Условие. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы. Постройте его изображение и сравните с предметом. Нужно проследить лучи от верхушки и затем восстановить изображение целиком.

1. Проведите от верхушки луч параллельно оси; после линзы он направится через дальний фокус.
2. Проведите луч через оптический центр, не меняя его направления. Эти лучи пересекутся по другую сторону линзы за точкой 2F.
3. От точки пересечения опустите перпендикуляр к главной оси. Полученная высота изображения окажется больше исходной, а верхушка — ниже оси.

Ответ. Изображение расположено за 2F и образовано пересечением самих лучей, поэтому оно действительное. Оно перевёрнутое и увеличенное. Для проверки направления полезно отдельно отметить на чертеже, по какую сторону оси оказалась верхушка.

Предмет перед рассеивающей линзой

Условие. Постройте изображение предмета перед рассеивающей линзой главными лучами и объясните, почему его нельзя получить на экране. Поскольку линза рассеивающая, преломлённые лучи будут расходиться, а не сходиться за ней. Поэтому точку изображения ищут по продолжениям.

1. От верхушки проведите луч параллельно главной оси; после линзы он расходится так, словно вышел из фокуса со стороны предмета.
2. Проведите второй луч через оптический центр: он идёт прямо. Продлите оба преломлённых луча назад, в сторону предмета.
3. Найдите пересечение продолжений и опустите от него перпендикуляр к оси. Точка лежит между линзой и фокусом, а построенная стрелка направлена вверх.

Ответ. Получается мнимое, прямое и уменьшенное изображение на той же стороне линзы, что и предмет. Сам свет в точке пересечения продолжений не собирается: туда не приходят лучи. Поэтому экран, поставленный в этом месте, изображения не покажет.

Типичные ошибки

Считать, что луч через оптический центр меняет направление, — значит построить неверное пересечение. Ошибку допускают, представляя линзу как одну преломляющую границу, хотя в тонкой линзе действуют две поверхности и отклонения компенсируются. Проверка: такой луч на схеме должен быть одной прямой до и после линзы, проходящей через O.

После собирающей линзы иногда проводят параллельный оси луч через рассеивающий фокус. Так путают действие двух типов линз и могут получить изображение не с той стороны или вовсе неверное. Проверка: у собирающей линзы преломлённый луч проходит через действительный фокус за линзой, а у рассеивающей только его продолжение назад проходит через мнимый фокус.

Пересечение продолжений называют действительным изображением, хотя в самой точке лучей нет. Такую путаницу вызывает то, что на чертеже и лучи, и продолжения выглядят как линии. Проверка: проследите направление стрелок света; действительное изображение возникает там, куда реально приходят лучи, а мнимое — там, откуда они лишь кажутся выходящими.

Строить изображение только по одному лучу недостаточно: луч задаёт направление, но не единственную точку пересечения. Ошибку допускают, если считают, что любое пересечение нарисованного луча с осью уже определяет изображение. Проверка: от одной и той же точки предмета проведите второй удобный луч и найдите, где именно они пересекутся сами или через продолжения.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о прямолинейном распространении света в однородной среде, а также об отражении и преломлении на границе сред. Они объясняют, почему лучи можно изображать линиями и почему направление света меняется при переходе через поверхность линзы. Сами правила построений используют понятия собирающей и рассеивающей линз, фокуса и фокусного расстояния. Эти знания пригодятся при изучении глаза и оптических приборов, а позднее — при решении задач с формулой тонкой линзы.

Что запомнить

• Для построения изображения достаточно провести от точки предмета два главных луча.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не меняющим направления.
• Параллельный главной оси луч после собирающей линзы проходит через фокус.
• После рассеивающей линзы параллельный луч расходится так, словно вышел из фокуса.
• Пересечение самих лучей даёт действительное изображение, их продолжений — мнимое.
• Изображение предмета получают, построив изображения его характерных точек.