3. Изображения в линзах

Определения и обозначения

Оптическая ось линзы — прямая, проходящая через центры её сферических поверхностей. Её называют главной, потому что она является основной осью симметрии линзы и проходит через её оптический центр. По ней удобно отсчитывать расстояния и определять положение фокусов.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, шедшие параллельно оси, или пересекаются их продолжения. У собирающей линзы лучи действительно сходятся в фокусе, а у рассеивающей — только кажутся выходящими из него. Положение фокуса определяет способность линзы изменять ход света.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса; оно обозначается F. Чем меньше это расстояние, тем сильнее линза изменяет направление лучей. Для собирающей линзы F считают положительным, для рассеивающей — отрицательным.

Оптическая сила линзы D — величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Её измеряют в диоптриях, причём 1 дптр = 1 м⁻¹. Знак оптической силы показывает тип линзы: у собирающей она положительна, у рассеивающей отрицательна.

Как это устроено

Построение изображения начинают с двух-трёх характерных лучей, потому что для них заранее известен ход после линзы. Луч, параллельный главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей выходит так, будто пришёл из фокуса. Луч через оптический центр тонкой линзы считают не меняющим направления, поскольку в этой модели толщиной линзы пренебрегают. Луч, проходящий через фокус собирающей линзы, после преломления идёт параллельно оси; для рассеивающей линзы это правило используют по продолжениям.

Точка пересечения преломлённых лучей задаёт положение действительного изображения. Его можно получить на экране, потому что свет действительно приходит в каждую точку изображения. Если сами лучи расходятся, но пересекаются их мысленные продолжения, изображение называют мнимым: оно видимо глазом, однако поставить экран в этой точке и получить на нём изображение нельзя.

У собирающей линзы вид изображения зависит от положения предмета. Если предмет дальше двойного фокусного расстояния, лучи сходятся между F и 2F; при положении предмета между F и 2F изображение возникает дальше 2F. При приближении предмета к фокусу изображение удаляется всё дальше, а при нахождении предмета внутри фокуса лучи после линзы расходятся и дают прямое увеличенное мнимое изображение.

Рассеивающая линза отклоняет параллельные лучи так, что они расходятся. Поэтому для действительного предмета её лучи не пересекаются за линзой, а пересечение продолжений находится между линзой и фокусом. Изображение получается мнимым, прямым и уменьшенным; именно такой результат объясняет, почему рассеивающая линза не создаёт на экране перевёрнутого изображения предмета.

Положение изображения можно найти не только построением, но и расчётом по формуле тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Здесь a — расстояние до предмета, b — расстояние до изображения; при выбранном соглашении отрицательное b означает мнимое изображение. Линейное увеличение Γ = −b/a, поэтому |Γ| показывает отношение размеров, а знак указывает на перевёрнутое или прямое изображение.

Изображения в собирающей линзе при разных положениях предмета

Сначала найдите строку, соответствующую положению предмета относительно F и 2F. Затем по двум соседним столбцам определите место и свойства изображения. Если предмет находится точно в фокусе, экран нужно мысленно отодвинуть очень далеко: выходящие лучи становятся параллельными.

Разбор задач

Предмет дальше двойного фокусного расстояния

Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии, большем 2F. Требуется построить изображение и описать его. Выберем вершину предмета и проведём из неё характерный луч параллельно оси, луч через оптический центр и луч через ближний фокус.

1. Параллельный оси луч после линзы направляем через дальний фокус.
2. Луч через оптический центр продолжаем прямо.
3. Луч через фокус после линзы направляем параллельно главной оси.
4. Точка пересечения лучей оказывается между F и 2F; основание изображения лежит на оси.

Ответ: изображение находится между фокусом и двойным фокусом. Оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное, поэтому его можно получить на экране.

Собирающая линза: F = 10 см, a = 15 см

Предмет находится между F и 2F, поскольку 10 см < 15 см < 20 см. Это позволяет заранее ожидать действительное перевёрнутое увеличенное изображение, но положение и размер найдём вычислением. Все расстояния выразим в сантиметрах.

1. Подставим данные в формулу: 1/10 = 1/15 + 1/b.
2. Получим 1/b = 1/10 − 1/15 = 1/30, поэтому b = 30 см.
3. Вычислим увеличение: Γ = −b/a = −30/15 = −2.

Ответ: изображение расположено в 30 см от линзы, то есть дальше 2F. Оно действительное и перевёрнутое, а его высота в 2 раза больше высоты предмета. Такой результат совпадает с построением для предмета между F и 2F.

Рассеивающая линза: |F| = 12 см, a = 24 см

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние имеет знак минус: F = −12 см. Расстояние до действительного предмета принимаем положительным: a = 24 см. Знак результата для b покажет, где находится изображение и можно ли получить его на экране.

1. По формуле 1/b = 1/F − 1/a = −1/12 − 1/24 = −1/8.
2. Следовательно, b = −8 см; минус означает мнимое изображение перед линзой, со стороны предмета.
3. Увеличение Γ = −b/a = −(−8)/24 = 1/3.

Ответ: изображение находится в 8 см от линзы со стороны предмета. Оно мнимое и прямое, поскольку Γ положительно, а размер составляет одну треть размера предмета. На экране это изображение получить нельзя.

Типичные ошибки

Действительное изображение путают с мнимым, потому что оба можно увидеть глазом. Но действительное образуют сами лучи, а мнимое — их продолжения; проверяйте, пересекаются ли реальные лучи и можно ли поставить экран в точку изображения.

Иногда луч через оптический центр рисуют преломлённым. В модели тонкой линзы он проходит прямо, поэтому такой луч служит удобной проверкой построения: его направление до и после линзы должно совпадать.

Применение формулы без знаков приводит к неверному типу изображения. Учитывайте знак F и заранее выбирайте соглашение для a и b; отрицательное b при принятой записи означает мнимое изображение.

Нельзя считать, что изображение всегда перевёрнуто. У собирающей линзы предмет внутри фокусного расстояния даёт прямое мнимое изображение, что легко проверить по знаку увеличения Γ или по пересечению продолжений лучей.

Связь с другими темами

Для понимания работы линз нужны законы отражения и преломления света, а также представление о ходе лучей в собирающей и рассеивающей линзах. Построения изображений применяются при изучении глаза и оптических приборов: лупы, микроскопа и телескопа. В расчётах полезны пропорции, подобие треугольников и умение преобразовывать формулы.

Что запомнить

• Луч, параллельный главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через фокус.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не меняющим направления.
• Действительное изображение образуется пересечением лучей, мнимое — пересечением их продолжений.
• Рассеивающая линза при действительном предмете даёт прямое, уменьшенное и мнимое изображение.
• Фокусное расстояние собирающей линзы считают положительным, рассеивающей — отрицательным.
• Оптическая сила равна обратному фокусному расстоянию в метрах и измеряется в диоптриях.