3. Изображения в линзах

Определения и обозначения

Действительное изображение — изображение, образованное пересечением самих преломлённых лучей. Свет действительно проходит через точки такого изображения, поэтому его можно получить на экране. Расстояние до него обозначают b и считают важным для построений и расчётов.

Мнимое изображение — изображение, образованное пересечением продолжений преломлённых лучей. Свет в точке такого изображения не собирается, поэтому на экране его получить нельзя. Оно показывает, откуда наблюдателю кажется выходящим свет.

Линейное увеличение линзы — отношение размера изображения к размеру предмета: Γ = h′/h. Модуль Γ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета, а знак указывает его ориентацию. Отрицательное увеличение соответствует перевёрнутому изображению, положительное — прямому.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние f, расстояние a от предмета до линзы и расстояние b от линзы до изображения: 1/f = 1/a + 1/b. Она позволяет вычислить неизвестное расстояние после определения остальных величин. При мнимом изображении или рассеивающей линзе используют согласованное правило знаков.

Как это устроено

Для построения изображения достаточно двух характерных лучей, потому что после линзы они однозначно задают направление пучка. Луч, идущий параллельно главной оптической оси собирающей линзы, после преломления проходит через фокус: это связано с тем, что линза собирает параллельный пучок в одной фокальной точке. Луч через оптический центр тонкой линзы считают практически не меняющим направления, поскольку вблизи центра его отклонения взаимно компенсируются.

Вершину изображения находят там, где пересекаются преломлённые лучи или их продолжения. Если пересекаются сами лучи, свет реально проходит через точку и изображение действительное. Если лучи расходятся, наблюдатель мысленно продолжает их назад и получает точку пересечения продолжений — изображение мнимое.

У собирающей линзы результат зависит от положения предмета относительно фокуса и двойного фокусного расстояния. При удалении предмета от линзы изображение перемещается по другую сторону линзы, а его размер изменяется: предмет дальше 2f даёт уменьшенное изображение между f и 2f, предмет в 2f — равное ему, а предмет между f и 2f — увеличенное за 2f. Если предмет находится между линзой и фокусом, преломлённые лучи расходятся, поэтому продолжения дают прямое увеличенное мнимое изображение.

Рассеивающая линза действует противоположным образом: параллельный пучок после неё расходится, а его продолжения пересекаются в мнимом фокусе перед линзой. Для действительного предмета лучи после линзы также расходятся, поэтому изображение всегда мнимое и прямое. Оно располагается между линзой и её мнимым фокусом и оказывается меньше предмета.

Изображения, создаваемые тонкими линзами

Сначала в таблице определяют строку по типу линзы и положению предмета относительно f и 2f. Затем из этой строки сразу получают положение, действительность, ориентацию и размер изображения. Для точного ответа положение и увеличение можно проверить расчётом по формулам.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние. Нужно построить изображение и охарактеризовать его. Числовые значения не заданы, поэтому используем правило построения.

1. Из вершины предмета проводим луч параллельно главной оптической оси; после линзы он проходит через дальний фокус.
2. Второй луч направляем через оптический центр; для тонкой линзы он идёт практически прямо.
3. Пересечение лучей оказывается между фокусом и 2f по другую сторону линзы, поэтому изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Ответ. Изображение находится между f и 2f. Оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 2

Условие. Собирающая линза имеет фокусное расстояние f = 12 см, предмет находится на расстоянии a = 18 см. Требуется найти расстояние до изображения и линейное увеличение. Так как 12 см < 18 см < 24 см, предмет расположен между f и 2f.

1. Подставляем данные в формулу: 1/b = 1/f − 1/a = 1/12 − 1/18 = 1/36, откуда b = 36 см.
2. Вычисляем увеличение: Γ = −b/a = −36/18 = −2.
3. Минус означает перевёрнутое изображение, а модуль 2 — увеличение в два раза; результат согласуется с положением предмета между f и 2f.

Ответ. Изображение находится в 36 см от линзы, за двойным фокусом. Оно действительное, перевёрнутое и увеличенное в 2 раза.

Задача 3

Условие. Рассеивающая линза имеет f = −10 см, предмет стоит на расстоянии 30 см, его высота h = 6 см. Найдём положение, вид и размер изображения, считая расстояние до действительного предмета a = 30 см положительным.

1. Находим обратное расстояние: 1/b = 1/f − 1/a = −1/10 − 1/30 = −2/15, поэтому b = −7,5 см.
2. Отрицательный b показывает, что изображение находится перед линзой, то есть со стороны предмета, и является мнимым.
3. Γ = −b/a = 7,5/30 = 0,25, значит h′ = Γh = 0,25 · 6 = 1,5 см. Положительный знак увеличения означает прямое изображение.

Ответ. Изображение расположено в 7,5 см перед линзой. Оно мнимое, прямое, уменьшенное в 4 раза, его высота равна 1,5 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любое изображение можно получить на экране. Так путают видимое наблюдателем изображение с реальным прохождением света через его точку. Проверка проста: если пересекаются сами лучи, изображение действительное и экран подходит; если только продолжения, оно мнимое.

При построении иногда проводят через оптический центр луч с заметным изломом. Это происходит из-за привычки считать, что любая граница сред обязательно меняет направление луча. Для тонкой линзы центральный луч проводят прямым и сверяют результат со вторым характерным лучом.

Нередко смешивают фокус собирающей и рассеивающей линзы. У рассеивающей линзы параллельные лучи после преломления расходятся, поэтому фокус расположен на продолжениях лучей перед линзой. Самопроверка: продолжения должны пересечься на той же стороне, откуда падает свет.

Неверный знак расстояния в формуле тонкой линзы даёт физически неправильный ответ. Причина — механическая подстановка чисел без выбранного соглашения о знаках. Перед вычислением запишите знаки f, a и b, а затем проверьте результат по построению и типу линзы.

Связь с другими темами

До изучения изображений нужно знать, как свет преломляется, и различать главную оптическую ось, оптический центр и фокус. Эти понятия задают характерные лучи и позволяют выполнить построение. Без них формула описывает расстояния, но не объясняет ход света.

Построение изображений опирается на геометрическую оптику: в однородной среде свет распространяется прямолинейно, а на границе сред меняет направление. Поэтому положение изображения находят геометрически, по пересечению лучей. Такой подход связывает чертёж с расчётом.

Знание линз необходимо для понимания работы глаза, лупы, фотоаппарата и микроскопа. В каждом приборе изображение формируется линзой или системой линз. Изменение положения предмета и фокусного расстояния меняет увеличение и положение изображения.

Что запомнить

• Изображение находят по пересечению преломлённых лучей или их продолжений.
• Действительное изображение можно получить на экране, мнимое — нельзя.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают практически не отклоняющимся.
• Собирающая линза при положении предмета между линзой и фокусом даёт прямое увеличенное мнимое изображение.
• Рассеивающая линза для действительного предмета даёт прямое уменьшенное мнимое изображение.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения.
• Линейное увеличение показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета.