Изображения в линзах

Определения и обозначения

Изображение в линзе — точка или область, в которой после прохождения через линзу пересекаются лучи или их продолжения. На схеме для построения изображения обычно достаточно найти точку, куда приходит свет от выбранной точки предмета. Так можно восстановить изображение предмета целиком.

Действительное изображение образуется в месте пересечения самих преломлённых лучей. Его можно получить на экране, потому что свет действительно собирается в соответствующей области. Такой тип изображения часто возникает у собирающей линзы, если предмет находится дальше её фокуса.

Мнимое изображение образуется при пересечении продолжений преломлённых лучей, мысленно проведённых назад. Свет в этой точке на самом деле не собирается, поэтому на экране такое изображение получить нельзя. Понятие помогает объяснить, откуда, по впечатлению наблюдателя, приходят лучи.

Линейное увеличение — отношение размера изображения к размеру предмета. Его можно вычислить как Γ = h′/h, где h — высота предмета, а h′ — высота изображения. Значение больше единицы означает увеличение, а меньше единицы — уменьшение.

Как это устроено

Чтобы построить изображение, выбирают точку предмета и проводят от неё два главных луча. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей расходится так, будто вышел из фокуса. Луч через оптический центр тонкой линзы продолжается прямо, без отклонения; пересечение лучей или их продолжений и задаёт изображение точки.

У собирающей линзы меняется соотношение направлений лучей в зависимости от расстояния до предмета. Если предмет дальше фокуса, после линзы лучи сходятся и дают действительное изображение. Если предмет между линзой и фокусом, лучи за линзой расходятся, а пересекаются только их продолжения, поэтому изображение становится мнимым.

Рассеивающая линза заставляет параллельные лучи расходиться, как будто они вышли из её фокуса. Лучи от любой точки предмета после линзы тоже расходятся, поэтому их продолжения встречаются со стороны предмета. Полученная точка лежит ближе к линзе, чем предмет: отсюда мнимое, прямое и уменьшенное изображение.

Положение предмета относительно фокуса и двойного фокусного расстояния позволяет заранее предсказать свойства изображения. У собирающей линзы предмет дальше двойного фокуса даёт изображение между фокусом и двойным фокусом, уменьшенное и перевёрнутое; в двойном фокусе — такое же по размеру. Между фокусом и двойным фокусом изображение находится дальше двойного фокуса, оно увеличенное и перевёрнутое, а в фокусе лучи выходят параллельно. Между линзой и фокусом изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Расстояния связаны формулой тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b, где F — фокусное расстояние, a — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения. Для собирающей линзы F положительно, для рассеивающей — отрицательно; b берут положительным для действительного и отрицательным для мнимого изображения. Модуль линейного увеличения равен Γ = h′/h = |b|/a, поэтому по нему находят размер изображения и сравнивают его с предметом.

Изображения, создаваемые тонкими линзами

Сначала найдите положение предмета относительно F и 2F, затем прочитайте в таблице, где возникнет изображение и каким оно будет. Перевёрнутое изображение у собирающей линзы в таблице является действительным, прямое — мнимым. Для рассеивающей линзы свойства не зависят от положения предмета.

Разбор задач

Задача 1. Построить изображение предмета перед собирающей линзой, если он расположен дальше двойного фокусного расстояния, и назвать свойства изображения. Здесь численные расстояния не заданы, поэтому важны ход главных лучей и положение их пересечения. Отсчёт ведём от верхней точки предмета.

1. Проводим от верхушки предмета луч параллельно главной оптической оси. После линзы он проходит через дальний фокус.
2. Проводим второй луч через оптический центр линзы. В модели тонкой линзы он не меняет направления.
3. За линзой лучи пересекутся между фокусом и двойным фокусом, поскольку предмет находится дальше 2F.

Пересечение самих лучей означает, что изображение действительное; относительно главной оси оно перевёрнутое и уменьшенное. Ответ: изображение находится между F и 2F по другую сторону линзы, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 2. Собирающая линза имеет фокусное расстояние 10 см, предмет находится на расстоянии 30 см. Найти расстояние до изображения и линейное увеличение. Так как 30 см больше 2F = 20 см, заранее ожидаем действительное уменьшенное изображение.

1. Записываем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Подставляем F = 10 см и a = 30 см.
2. Находим 1/b = 1/10 − 1/30 = 1/15, значит, b = 15 см. Положительный знак подтверждает, что изображение действительное.
3. Вычисляем увеличение: Γ = |b|/a = 15/30 = 0,5. Значит, изображение вдвое меньше предмета.

Поскольку предмет расположен дальше фокуса, изображение перевёрнутое. Ответ: изображение находится в 15 см от линзы, оно действительное, перевёрнутое, а его размер равен половине размера предмета.

Задача 3. Предмет расположен в 15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Определить положение, размер и характер изображения. По принятому соглашению для рассеивающей линзы F = −20 см, а расстояние до предмета a = 15 см.

1. Подставляем значения в формулу тонкой линзы: 1/b = 1/F − 1/a = −1/20 − 1/15 = −7/60 см⁻¹.
2. Получаем b = −60/7 см, то есть примерно −8,6 см. Минус указывает на мнимое изображение со стороны предмета.
3. Находим увеличение: Γ = |b|/a = (60/7)/15 = 4/7 ≈ 0,57. Оно положительно по ориентации и меньше единицы по размеру.

Ответ: изображение находится примерно в 8,6 см от линзы со стороны предмета, оно мнимое и прямое, его размер составляет около 0,57 размера предмета.

Типичные ошибки

Ошибка — считать изображение действительным только потому, что его видно глазом. Глаз может воспринимать и мнимое изображение, поскольку мозг продолжает лучи назад; путаница возникает из-за бытового значения слова «видно». Проверьте себя вопросом: можно ли поставить экран в место изображения так, чтобы на нём собрались лучи?

При построении луча через оптический центр иногда меняют его направление, будто он преломляется на линзе. Это происходит из-за привычки считать, что каждый луч обязательно поворачивает; в модели тонкой линзы центральный луч не отклоняется. Проверьте, проходит ли проведённая линия через оптический центр и остаётся ли прямой.

Фокус путают с двойным фокусом, поэтому неверно определяют, где будет изображение и какого оно размера. Чтобы не ошибиться, отметьте на оси сначала F, затем 2F, находящийся вдвое дальше от линзы. Сопоставьте положение предмета именно с обеими отметками: при предмете в 2F изображение тоже возникает в 2F и равно ему по размеру.

Для рассеивающей линзы подставляют в формулу положительное фокусное расстояние, потому что забывают о знаковом соглашении. Тогда расчёт может ошибочно показать действительное изображение. Перед вычислением запишите знак F: он отрицательный для рассеивающей линзы; после решения проверьте знак b и согласуйте его с характером изображения.

Связь с другими темами

Для изучения изображений нужны знания о видах линз, главной оптической оси, оптическом центре, фокусе и фокусном расстоянии. Также нужно уметь строить ход световых лучей и применять законы преломления: именно изменение направления лучей объясняет появление изображения. Эти навыки понадобятся при изучении оптических приборов — глаза, лупы, фотоаппарата, проектора и микроскопа, где линзы формируют изображения для наблюдения или записи.

Что запомнить

• Изображение строят по пересечению преломлённых лучей или их продолжений.
• Действительное изображение можно получить на экране, мнимое — нельзя.
• Собирающая линза создаёт разные изображения в зависимости от положения предмета относительно фокуса.
• Рассеивающая линза всегда создаёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Если предмет находится в двойном фокусе собирающей линзы, изображение имеет такой же размер.
• Линейное увеличение равно отношению размера изображения к размеру предмета.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения.