Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. Свет меняет направление на границах сред, поэтому линза может собирать или рассеивать лучи и создавать изображение. Основные виды — собирающие и рассеивающие линзы: первые обычно толще в середине, вторые — тоньше.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. Её используют как основную линию при построении хода лучей и изображений. Перпендикулярное ей направление помогает точно отмечать положение предмета и его изображения.

Фокус — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, шедшие параллельно оси, или из которой они кажутся исходящими. У собирающей линзы лучи действительно проходят через фокус, а у рассеивающей пересекаются только их продолжения. Фокус нужен, чтобы описывать действие линзы и строить изображения.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до фокуса; обычно его обозначают F. Оно показывает, насколько сильно линза изменяет ход света: чем меньше это расстояние, тем сильнее действие линзы. В формулах F выражают в метрах, а оптическую силу обозначают D и рассчитывают по формуле D = 1/F; её единица — диоптрия.

Как это устроено

Свет преломляется, потому что при переходе из воздуха в материал линзы и обратно меняется скорость его распространения. На границе двух сред луч меняет направление, если падает не перпендикулярно поверхности. Две преломляющие поверхности вместе задают итоговый ход луча, поэтому форма линзы влияет на то, куда направится свет.

У собирающей линзы поверхности устроены так, что параллельные главной оси лучи после преломления направляются друг к другу. Они встречаются в действительном фокусе, потому что каждый луч отклоняется к оси. У рассеивающей линзы лучи, наоборот, отклоняются от оси; сами они расходятся, но их продолжения назад пересекаются в мнимом фокусе.

Изображение строят по главным лучам, проведённым от верхушки предмета. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей расходится так, будто вышел из фокуса. Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления. Луч, направленный до собирающей линзы через фокус, после неё идёт параллельно оси; место пересечения преломлённых лучей или их продолжений показывает верхушку изображения.

У собирающей линзы вид изображения меняется из-за того, где предмет расположен относительно фокуса. Если предмет дальше фокуса, лучи после линзы сходятся и образуют действительное, перевёрнутое изображение; при расстоянии больше 2F оно уменьшенное, а между F и 2F — увеличенное. Если предмет стоит между линзой и фокусом, после линзы лучи расходятся, и пересекаются лишь их продолжения: изображение мнимое, прямое и увеличенное. В самом фокусе лучи выходят параллельно, поэтому изображение оказывается на бесконечно большом расстоянии.

Связь расстояний для тонкой линзы выражает формула 1/F = 1/d + 1/b, где d — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения. Она следует из геометрии лучей и подобия треугольников; для мнимого изображения расстояние b учитывают со знаком минус. Увеличение показывает, во сколько раз изображение выше предмета: по модулю Γ = h′/h = b/d, где h и h′ — высоты предмета и изображения. Перевёрнутость действительного изображения при необходимости отражают знаком минус у увеличения.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

В таблице сопоставлены форма линз, действие на параллельные лучи и знаки основных величин. Сначала определите тип линзы по её действию на лучи, а затем проверяйте знак фокусного расстояния и возможный вид изображения. Для рассеивающей линзы свойства изображения указаны для действительного предмета, расположенного перед линзой.

Разбор задач

Задача 1. Оптическая сила собирающей линзы равна 4 дптр. Нужно определить её фокусное расстояние. В формуле D = 1/F расстояние должно быть выражено в метрах, поэтому результат получится положительным для собирающей линзы.

1. Запишем связь величин: F = 1/D.
2. Подставим D = 4 дптр: F = 1/4 м = 0,25 м.
3. Переведём в сантиметры: 0,25 м = 25 см.

Ответ: фокусное расстояние равно 0,25 м, или 25 см.

Задача 2. Предмет расположен перед собирающей линзой дальше, чем на расстоянии 2F. Требуется построить изображение и назвать его свойства. Отметим на главной оси линзу, фокусы по обе стороны от неё и точки на расстоянии 2F, затем поставим предмет за отметкой 2F.

1. От верхушки предмета проведём луч параллельно главной оси; после линзы он направится через фокус на другой стороне.
2. Проведём второй луч через оптический центр: в модели тонкой линзы он не меняет направления.
3. Точка пересечения лучей окажется между F и 2F по другую сторону линзы. От неё опустим перпендикуляр на ось, чтобы обозначить изображение.

Лучам не требуется продолжение назад: они пересекаются после линзы, значит, изображение действительное. Оно перевёрнутое, а положение между F и 2F показывает, что оно уменьшенное.

Ответ: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное; оно находится между F и 2F.

Задача 3. Предмет находится в 30 см от собирающей линзы, а его действительное изображение — в 60 см от неё. Найдём фокусное расстояние и увеличение. Оба расстояния относятся к действительным объекту и изображению, поэтому подставляем их в формулу тонкой линзы положительными.

1. Запишем формулу: 1/F = 1/d + 1/b.
2. Подставим d = 30 см и b = 60 см: 1/F = 1/30 + 1/60 = 3/60 = 1/20.
3. Следовательно, F = 20 см. Расстояния можно оставить в сантиметрах, поскольку в этой формуле они используются согласованно.
4. Вычислим увеличение по модулю: Γ = b/d = 60/30 = 2. Знак минус для направленного изображения указывал бы на его перевёрнутость.

Ответ: F = 20 см; изображение увеличено в 2 раза и перевёрнуто.

Типичные ошибки

Можно перепутать собирающую и рассеивающую линзы, запомнив только толщину краёв или середины. Такая путаница возникает, если рассматривать форму, но не проверять, как лучи идут после линзы. Сверьте середину с краями и мысленно проследите параллельный пучок: собирающая линза сводит лучи, рассеивающая разводит.

Иногда фокусом называют любую точку, через которую проходит отдельный луч. Так происходит из-за смешения фокуса с точкой пересечения произвольных лучей. Проверьте определение: фокус связан именно с лучами, которые до линзы шли параллельно главной оси, или с продолжениями расходящихся лучей.

При вычислении оптической силы могут подставить фокусное расстояние в сантиметрах. Ошибка появляется потому, что единицу не проверяют перед применением D = 1/F. Переведите F в метры и убедитесь, что обратная величина выражена в диоптриях.

Изображение пытаются построить по одному лучу или проводят через фокус луч уже после линзы. По одному лучу нельзя определить точку изображения: через неё могут пройти разные точки луча. Проведите как минимум два главных луча и проверьте правило: луч через фокус направляют через него до собирающей линзы, а после неё он идёт параллельно оси.

Связь с другими темами

Для изучения линз нужны закон преломления света, понятие показателя преломления и умение строить ход световых лучей. Формулы линзы и увеличения опираются на геометрические построения и подобие треугольников. Те же знания применяются при изучении глаза и очков, а также устройств фотоаппарата, микроскопа и телескопа: в них линзы направляют свет и формируют изображения.

Что запомнить

• Собирающая линза толще в середине и имеет положительное фокусное расстояние.
• Рассеивающая линза тоньше в середине и имеет отрицательное фокусное расстояние.
• Фокусное расстояние измеряют от оптического центра линзы до фокуса.
• Оптическая сила линзы D = 1/F, если F выражено в метрах; измеряют её в диоптриях.
• Изображение строят по главным лучам, учитывая их направление после преломления.
• Собирающая линза может давать действительное или мнимое изображение.
• Рассеивающая линза для действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.