§25. Построение изображений в линзах

Определения и обозначения

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы. Её проводят как основное направление на схеме и относительно неё определяют фокусы и положение предмета. Поэтому ось помогает понять, какие лучи считать параллельными и где искать изображение.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. На схеме это удобная точка для проведения одного из главных лучей. Такой луч помогает построить изображение без вычислений.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, шедшие параллельно оси, или из которой они кажутся расходящимися. У собирающей линзы лучи действительно сходятся в фокусе, а у рассеивающей — лишь выглядят вышедшими из него. Фокус нужен, чтобы определить направление лучей после линзы.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. Его обозначают буквой F или f в зависимости от принятой записи. Это расстояние позволяет отмечать на схеме фокусы и двойные фокусы, а также связано со способностью линзы собирать или рассеивать свет.

Как это устроено

Изображение точки находят по месту, где пересекаются лучи после линзы, либо их продолжения. Достаточно провести два луча: если оба после преломления встречаются, там находится изображение точки. Предмет состоит из множества точек, но для обычного построения достаточно найти изображения его характерных точек, например верхнего и нижнего концов стрелки, а затем соединить их.

Для собирающей линзы удобно провести от точки предмета луч, параллельный главной оси: после преломления он проходит через фокус. Второй луч проводят через оптический центр, где его направление почти не меняется. Можно выбрать и третий вариант: направить луч через фокус перед линзой, тогда после преломления он пойдёт параллельно оси. Пересечение любых двух построенных лучей показывает изображение точки.

У рассеивающей линзы параллельный оси луч после преломления отклоняется от неё. Если продолжить его назад, он пройдёт через фокус со стороны предмета: поэтому говорят, что луч словно вышел из этой точки. Луч через оптический центр сохраняет направление. Поскольку после линзы лучи расходятся, их продолжения и используют для поиска изображения.

У собирающей линзы положение предмета относительно фокуса определяет, где встретятся лучи и какой получится образ. Если предмет находится дальше фокуса, лучи после линзы сходятся, поэтому изображение действительное и перевёрнутое. Когда предмет помещён между линзой и фокусом, лучи после линзы расходятся, а их продолжения пересекаются со стороны предмета. Тогда изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Рассеивающая линза превращает параллельный пучок в расходящийся, а лучи от каждой точки действительного предмета также после линзы расходятся. Значит, встретиться могут только продолжения лучей, а не сами лучи. Отсюда следует, что изображение такого предмета всегда мнимое; построение также показывает, что оно прямое и меньше предмета.

Построение и свойства изображений в линзах

В таблице для собирающей линзы положение изображения указано относительно линзы и фокусов на противоположной от предмета стороне, если оно действительное. Для мнимого изображения уточнено, что оно находится со стороны предмета. Чтобы пользоваться таблицей, сначала отметьте расстояние до предмета, затем найдите соответствующую строку и проверьте результат построением двух главных лучей.

Разбор задач

Предмет дальше двойного фокусного расстояния

Задача. Постройте изображение предмета перед собирающей линзой, если он расположен дальше двойного фокусного расстояния. Нужно определить, где появится изображение и каким оно будет. Обозначим верхнюю точку предмета A, а нижнюю — B; обе точки лежат на главной оси или над ней.

1. От верхней точки A проведём луч параллельно главной оси. После линзы он направится через фокус на противоположной стороне.
2. Из той же точки A проведём луч через оптический центр. Он продолжит движение по прямой, поэтому пересечётся с первым лучом в точке A′.
3. Место пересечения лежит между фокусом и двойным фокусом по другую сторону линзы. Из-за расположения точки A′ ниже оси изображение перевёрнуто; его меньшая высота означает, что оно уменьшено.

Ответ: изображение находится между F и 2F по другую сторону линзы; оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Действительность можно проверить тем, что встречаются сами лучи.

Предмет между фокусом и двойным фокусным расстоянием

Задача. Предмет стоит между F и 2F перед собирающей линзой. Постройте изображение, определите его положение, ориентацию и размер. Здесь также достаточно исследовать верхнюю точку предмета, потому что нижняя лежит на оси и её изображение окажется на оси.

1. Проведём от верхней точки луч параллельно оси: после собирающей линзы он пройдёт через дальний фокус.
2. Проведём луч от этой же точки через оптический центр. Он не изменит направления, и пересечение двух лучей задаст верхнюю точку изображения.
3. Продолжим построение до пересечения: оно окажется за двойным фокусным расстоянием по другую сторону линзы. Точка изображения расположена ниже оси, значит, образ перевёрнут; расстояние от оси до неё больше высоты предмета, поэтому он увеличенный.

Ответ: изображение находится за 2F, оно действительное, перевёрнутое и увеличенное. Вывод о размере делаем по высоте изображения на чертеже, а не только по тому, где оно расположено.

Предмет перед рассеивающей линзой

Задача. Постройте изображение предмета перед рассеивающей линзой и объясните, почему его нельзя получить на экране. Предмет считаем действительным: от каждой его точки свет падает на линзу. Чтобы найти изображение верхней точки, понадобятся два луча.

1. Проведём луч от верхней точки параллельно оси. После линзы он разойдётся так, будто вышел из фокуса со стороны предмета.
2. Проведём второй луч через оптический центр: он сохранит направление. Затем продолжим оба преломлённых луча назад, в сторону предмета.
3. Пересечение продолжений покажет верхнюю точку изображения. Оно находится со стороны предмета, выше оси и ближе к оси, чем исходная точка.

Ответ: изображение мнимое, прямое и уменьшенное. Экран должен был бы принять сами сходящиеся лучи, но здесь встречаются только их продолжения, поэтому изображения на экране не получится.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любой луч, проходящий через фокус, после линзы идёт параллельно оси. Это правило относится к лучу, который до собирающей линзы был направлен через передний фокус; после линзы он выходит параллельно. Путаница возникает, если не уточнить, с какой стороны линзы находится фокус. Проверьте направление построения: сначала луч идёт к линзе через фокус, затем от неё параллельно оси.

Ошибка: менять направление луча через оптический центр. Для тонкой линзы такой луч в школьной модели проходит без отклонения, иначе построенные лучи дадут неверное изображение. Обычно ошибку допускают, перенося на этот луч правило о преломлении на поверхности. Проверьте, что линия через предметную точку и оптический центр остаётся прямой.

Ошибка: называть изображение действительным, если пересекаются продолжения лучей. Действительное изображение образуют сами лучи, а продолжения дают мнимое; именно поэтому первое можно получить на экране. Путаница появляется, когда на чертеже не различают лучи и их продолжения. Проверьте, с какой стороны от линзы лежит точка пересечения и встречаются ли там реальные лучи.

Ошибка: путать фокус и двойной фокус. Фокус находится на расстоянии F от оптического центра, а двойной фокус — на расстоянии 2F. Это часто происходит, когда на схеме отмечают только один отрезок и принимают его за оба расстояния. Проверьте разметку: от центра до точки 2F должно помещаться два фокусных расстояния.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать, что свет распространяется прямолинейно в однородной среде, а на границе сред преломляется. Поэтому правила построения опираются на изученные ранее ход лучей при отражении и преломлении. Положение фокусов связано с фокусным расстоянием, а вычисления можно продолжить с помощью формулы тонкой линзы.

Те же принципы объясняют работу оптических приборов. В глазу линза создаёт изображение на сетчатке, а фотоаппарат формирует его на светочувствительной матрице. Микроскоп и телескоп используют линзы, чтобы получать увеличенные изображения или рассматривать удалённые предметы.

Что запомнить

• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не отклоняющимся.
• Параллельный главной оси луч после собирающей линзы проходит через фокус.
• У рассеивающей линзы параллельный луч расходится так, словно вышел из фокуса.
• Действительное изображение образуется при пересечении самих лучей.
• Мнимое изображение находят по пересечению продолжений лучей.
• Собирающая линза может давать действительное или мнимое изображение.
• Рассеивающая линза действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.