6. Формула тонкой линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — линза, толщиной которой по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей можно пренебречь. Поэтому при построении считают, что преломление происходит в одной плоскости, а положение линзы задаётся одним оптическим центром. Это упрощение позволяет измерять расстояния от одной точки и применять формулу линзы.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. На ней находятся оптический центр и главный фокус, поэтому ось служит ориентиром при построении изображения. Луч, направленный через оптический центр тонкой линзы, практически не меняет направления.

Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса, точки, в которой сходятся или кажутся исходящими лучи, шедшие параллельно главной оси. У собирающей линзы F положительно, а у рассеивающей — отрицательно. Знак показывает, какого типа линза рассматривается, и необходим для расчётов.

Оптическая сила D равна обратному фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Её измеряют в диоптриях, причём 1 дптр = 1 м⁻¹. Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет ход лучей.

Как это устроено

Чтобы построить изображение предмета, проводят лучи от его вершины через линзу. Удобно использовать луч, параллельный главной оси: после собирающей линзы он проходит через фокус, а после рассеивающей расходится так, словно вышел из фокуса. Второй луч проводят через оптический центр — он почти не отклоняется; точка пересечения лучей или их продолжений задаёт вершину изображения. Расстояние от предмета до линзы обозначают d, а расстояние от линзы до изображения — f.

Формулу получают из геометрии хода лучей и подобия треугольников, возникающих при построении. Отношения соответствующих сторон связывают высоты предмета и изображения с расстояниями до линзы и фокуса. После преобразования получается 1/F = 1/d + 1/f. В этой записи d, f и F подставляют со знаками, принятыми для конкретной задачи, а не просто как положительные модули.

Формула работает и для собирающей, и для рассеивающей линзы, потому что знаки учитывают направление хода лучей и положение изображения. Для предмета перед линзой обычно берут d > 0; фокусное расстояние собирающей линзы положительно, а рассеивающей — отрицательно. Если изображение действительное, f > 0, а если мнимое — f < 0. Согласованная система знаков позволяет одной формулой описывать разные случаи.

Знак и величина f показывают, где находится изображение. Положительное f означает, что изображение образуется на противоположной от предмета стороне линзы, где реально пересекаются лучи; его можно получить на экране. Отрицательное f указывает на ту же сторону, что и предмет: там пересекаются только продолжения расходящихся лучей, поэтому изображение мнимое. Значение f задаёт расстояние до изображения в выбранных единицах.

Линейное увеличение Γ = H/h = −f/d связывает высоту изображения H с высотой предмета h и их расстояния до линзы. Модуль |Γ| показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета: если он больше единицы, изображение увеличено, если меньше — уменьшено. Знак указывает ориентацию: отрицательное Γ соответствует перевёрнутому изображению, положительное — прямому. Это позволяет определить характер изображения после расчёта его положения.

Изображения, создаваемые собирающей линзой

Найдите в таблице положение предмета относительно F и 2F, а затем прочитайте остальные свойства в той же строке. Границу F важно учитывать отдельно: при предмете точно в фокусе лучи после линзы идут параллельно, поэтому изображение находится на бесконечности. Таблица относится к собирающей линзе.

Разбор задач

Задача 1

Собирающая линза имеет фокусное расстояние 20 см, предмет находится в 60 см от линзы. Нужно найти расстояние до изображения и определить, действительное ли оно. Оба заданных расстояния указаны в сантиметрах, поэтому можно сразу подставлять их в формулу. Для предмета перед линзой d = 60 см, а для собирающей линзы F = 20 см.

1. Запишем формулу: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/20 − 1/60 = 1/30.
3. Следовательно, f = 30 см. Поскольку f положительно, изображение действительное и находится по другую сторону линзы.

Ответ: изображение расположено в 30 см от линзы, оно действительное.

Задача 2

Предмет высотой 3 см расположен в 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Сначала найдём расстояние до изображения, затем его высоту и характер. Предмет дальше двойного фокусного расстояния: 30 см > 2 · 10 см. Поэтому заранее ожидаем действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение.

1. Подставим расстояния в формулу: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 1/15, значит, f = 15 см.
2. Найдём увеличение: Γ = −f/d = −15/30 = −0,5.
3. Используем Γ = H/h: H = Γh = −0,5 · 3 см = −1,5 см. Отрицательный знак означает перевёрнутое изображение, а модуль 1,5 см задаёт его высоту.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы, оно действительное, перевёрнутое, высотой 1,5 см.

Задача 3

Рассеивающая линза с фокусным расстоянием −15 см создаёт изображение предмета, расположенного в 30 см от линзы. Требуется определить положение изображения и объяснить его характер. Предмет перед линзой, поэтому d = 30 см, но фокусное расстояние оставляем отрицательным. Этот знак отражает рассеивание лучей линзой.

1. Запишем формулу: 1/f = 1/F − 1/d.
2. Подставим данные: 1/f = −1/15 − 1/30 = −1/10.
3. Получаем f = −10 см. Отрицательное расстояние означает, что изображение находится со стороны предмета и образуется пересечением продолжений лучей.

Ответ: изображение расположено в 10 см от линзы со стороны предмета; оно мнимое.

Типичные ошибки

Если считать все расстояния положительными, мнимое изображение можно ошибочно принять за действительное. Так бывает, когда знак воспринимают как необязательную запись, а не как указание на тип линзы или сторону изображения. Перед вычислением выпишите знаки d, F и f по принятому правилу; после решения проверьте, соответствует ли знак результата расположению изображения.

В формуле складываются обратные величины, а не сами расстояния: 1/F = 1/d + 1/f. Ошибка возникает, если запомнить только буквы и механически сложить сантиметры. Проверьте размерность: в равенстве складываются величины, обратные расстояниям, а результат тоже имеет размерность обратного расстояния.

Для оптической силы нельзя подставлять фокусное расстояние в сантиметрах без перевода в метры. Поскольку диоптрия — это обратный метр, сначала переведите, например, 20 см в 0,20 м, и только потом вычисляйте D = 1/F. Проверка простая: ответ для D должен быть выражен в диоптриях, а не в сантиметрах или сантиметрах в минус первой степени.

Действительное изображение не является прямым: у собирающей линзы оно перевёрнуто. Путают эти свойства, если судят только о том, где находится изображение, и не учитывают знак увеличения. Вычислите Γ = −f/d: отрицательный знак означает переворот, а модуль показывает, увеличено изображение или уменьшено.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны законы геометрической оптики, правила хода основных лучей через линзы и свойства подобных треугольников. С ними можно не только вычислять положение изображения, но и строить его геометрически. Полученные знания применяются при разборе оптических приборов: фотоаппарата, проектора и глаза. Связь фокусного расстояния с оптической силой используют при подборе очковых линз.

Что запомнить

• Для тонкой линзы выполняется 1/F = 1/d + 1/f при согласованном выборе знаков.
• В формулу линзы подставляют расстояния в одинаковых единицах.
• У собирающей линзы фокусное расстояние положительно, у рассеивающей — отрицательно.
• Оптическая сила равна обратному фокусному расстоянию, выраженному в метрах.
• Линейное увеличение связывает размеры изображения и предмета с их расстояниями до линзы.
• Знак расстояния до изображения помогает различить действительное и мнимое изображения.