"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Тонкая линза изменяет направление световых лучей и создаёт изображение предмета. Чтобы определить, где оно окажется, используют формулу 1/F = 1/d + 1/f: она связывает фокусное расстояние с расстояниями от линзы до предмета и изображения. Знаки величин позволяют различать собирающие и рассеивающие линзы, а также действительные и мнимые изображения. Та же формула помогает рассчитать оптическую силу линзы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тонкая линза — прозрачное тело, толщиной которого в расчётах пренебрегают по сравнению с радиусами кривизны поверхностей. Это упрощение позволяет считать, что преломление лучей происходит в одной плоскости, и описывать положение предмета и изображения относительно одной точки — линзы.
Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. У собирающей линзы оно положительно, у рассеивающей — отрицательно; знак помогает записать свойства обеих линз одной формулой, не меняя её вид.
Оптическая сила — величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах. Её измеряют в диоптриях: чем меньше фокусное расстояние по модулю, тем сильнее линза преломляет свет; поэтому оптическая сила удобна для сравнения линз.
Формула тонкой линзы — соотношение между фокусным расстоянием и расстояниями от линзы до предмета и его изображения. Она позволяет рассчитывать неизвестное расстояние, если известны два других, и связывает геометрическое построение изображения с вычислением.
Параллельные главной оптической оси лучи после собирающей линзы сходятся в главном фокусе, потому что выпуклая форма линзы преломляет их к оси. После рассеивающей линзы лучи, наоборот, отклоняются от оси и расходятся. Если продолжить эти расходящиеся лучи назад, они пересекутся в точке фокуса, поэтому говорят, что лучи как будто исходят из него.
Формулу тонкой линзы получают из геометрии хода лучей. Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, практически не меняет направление, а другие лучи строят изображение и фокус. Образующиеся треугольники подобны: отношения соответствующих сторон равны. После сопоставления этих отношений выходит 1/F = 1/d + 1/f, где F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — до изображения. Обратные расстояния возникают именно из преобразования отношений сторон подобных треугольников.
Знаки в формуле учитывают, какой тип линзы и какое изображение рассматривают. Для собирающей линзы F положительно, для рассеивающей отрицательно. Действительный предмет находится перед линзой, поэтому d положительно; действительное изображение образуется там, где лучи реально пересекаются, и f положительно. Для мнимого изображения лучи не пересекаются, а пересекаются их продолжения со стороны предмета, поэтому f отрицательно.
По знаку найденного f можно определить вид изображения: положительное значение соответствует действительному, отрицательное — мнимому. Чтобы найти неизвестное расстояние, подставляют в формулу два известных значения с правильными знаками, затем выражают неизвестную обратную величину и обращают результат. Все расстояния следует записывать в одинаковых единицах, например в сантиметрах; при проверке полезно оценить, правдоподобно ли положение изображения.
Оптическая сила D связана с фокусным расстоянием выражением D = 1/F, если F измерено в метрах. Это следует из определения оптической силы и позволяет сразу использовать знак F: у собирающей линзы D положительна, у рассеивающей — отрицательна. Например, фокусное расстояние 0,5 м соответствует оптической силе 2 дптр.
| Величина | Обозначение и смысл | Знак и единица |
|---|---|---|
| Фокусное расстояние | F; расстояние от линзы до главного фокуса | Знак зависит от вида линзы; метры |
| Расстояние до предмета | d; расстояние от предмета до линзы | Для действительного предмета положительно; метры |
| Расстояние до изображения | f; расстояние от изображения до линзы | Для действительного изображения положительно, для мнимого отрицательно; метры |
| Оптическая сила | D = 1/F | Положительна у собирающей линзы, отрицательна у рассеивающей; диоптрии |
| Формула тонкой линзы | 1/F = 1/d + 1/f | Величины подставляют с учётом знаков |
Сначала определите, какие величины известны и какого знака они должны быть, затем выберите нужную строку таблицы. В самой формуле расстояния складываются как обратные величины, поэтому обычное сложение d и f не подходит. Для оптической силы отдельно проверьте, что F переведено в метры.
Собирающая линза имеет фокусное расстояние 20 см, а предмет находится в 60 см от неё. Требуется найти расстояние до изображения. Поскольку линза собирающая и предмет действительный, F = 20 см и d = 60 см положительны.
Запишем формулу: 1/F = 1/d + 1/f. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d. Вычитание нужно потому, что член 1/d переносим из правой части в левую.
Подставим значения в сантиметрах: 1/f = 1/20 − 1/60 = 3/60 − 1/60 = 2/60 = 1/30. Значит, f = 30 см. Результат положительный, следовательно, изображение действительное.
Ответ: изображение находится в 30 см от линзы и является действительным.
Предмет расположен в 30 см от собирающей линзы, действительное изображение — в 60 см от неё. Нужно определить F и D. Оба расстояния положительны, поскольку предмет и действительное изображение находятся на соответствующих сторонах линзы.
Из формулы получаем 1/F = 1/d + 1/f. Подставляем расстояния: 1/F = 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20. Следовательно, фокусное расстояние F = 20 см.
Для вычисления оптической силы переводим фокусное расстояние в метры: 20 см = 0,20 м. Теперь D = 1/F = 1/0,20 = 5 дптр. Положительный знак согласуется с тем, что линза собирающая.
Ответ: F = 20 см, D = 5 дптр.
Рассеивающая линза имеет фокусное расстояние 15 см по модулю, а предмет находится в 30 см от неё. Нужно найти расстояние до изображения и установить, действительное оно или мнимое. Для рассеивающей линзы обязательно записываем F = −15 см, а для действительного предмета d = 30 см.
Выразим расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d. Подставим знаки: 1/f = −1/15 − 1/30 = −2/30 − 1/30 = −3/30 = −1/10. Отрицательное значение обратного расстояния даёт f = −10 см.
Полученное расстояние отрицательно, поэтому изображение мнимое. Оно расположено со стороны предмета, а не там, где реально пересеклись бы лучи. Это соответствует поведению рассеивающей линзы.
Ответ: f = −10 см; изображение мнимое.
Подставляют сантиметры в формулу для оптической силы, хотя F в D = 1/F должно быть выражено в метрах. Ошибка возникает из-за смешения формул: расстояния в уравнении линзы можно считать в сантиметрах, а для D нужна единица СИ. Перед вычислением D переведите сантиметры в метры и проверьте результат обратным умножением.
Считают фокусное расстояние рассеивающей линзы положительным, забывая, что её фокус мнимый. Тогда формула описывает не ту линзу и даёт неверное положение изображения. Проверьте знак до подстановки: для собирающей F > 0, для рассеивающей F < 0.
Не ставят минус перед расстоянием до мнимого изображения. Так происходит, когда расстояние записывают только как геометрическую длину и игнорируют, по какую сторону линзы находится изображение. Сначала определите, действительное оно или мнимое, а после решения проверьте тип по знаку f.
Переставляют d и f или складывают сами расстояния вместо обратных величин. Это может случиться, если формулу запомнили как правило без смысла: в ней складываются 1/d и 1/f, а не d и f. Для самопроверки подставьте результат обратно в 1/F = 1/d + 1/f и убедитесь, что равенство выполняется.
Чтобы пользоваться формулой, нужно знать, как лучи преломляются в линзах, что называют главной оптической осью и главным фокусом. Также понадобится подобие треугольников: из него выводят соотношение между расстояниями до предмета, изображения и фокуса. Формула тонкой линзы продолжает геометрическое построение изображений и позволяет выполнять его расчётно. Она пригодится при изучении собирающих и рассеивающих линз, а также оптических приборов.
Почему формула тонкой линзы содержит обратные расстояния?
При выводе формулы сравнивают треугольники, которые образуют предмет, изображение и лучи, прошедшие через линзу. Из подобия треугольников получается связь между величинами, обратными расстояниям до предмета, изображения и фокуса.
Как определить знак фокусного расстояния?
У собирающей линзы фокусное расстояние F положительно, а у рассеивающей — отрицательно. Знак показывает, в каком направлении линза изменяет ход параллельных лучей: собирает их или заставляет расходиться.
Какой знак подставлять для расстояния до мнимого изображения?
Расстояние до мнимого изображения f подставляют со знаком минус. Такое изображение находится по ту же сторону линзы, что и предмет, и лучи в действительности в нём не пересекаются.
В каких единицах нужно выражать фокусное расстояние, чтобы найти оптическую силу?
Фокусное расстояние нужно перевести в метры и вычислить D = 1/F. Например, если F = 20 см = 0,20 м, то D = 5 дптр.
Что означает отрицательное значение расстояния до изображения?
Отрицательное f означает, что изображение мнимое. Оно расположено со стороны предмета, а не за линзой, куда сходятся лучи при образовании действительного изображения.
5. Формула тонкой линзы
