5. Формула тонкой линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — линза, толщиной которой по сравнению с радиусами кривизны поверхностей можно пренебречь. Это приближение позволяет считать линзу тонкой плоскостью и не учитывать расстояние между её поверхностями при построении изображения. Поэтому расстояния в формуле отсчитывают от одной точки — оптического центра.

Оптический центр — точка линзы, проходя через которую световой луч практически не меняет направления. Луч через эту точку удобен для построения: его не нужно преломлять, достаточно продолжить прямую. Так находят изображение вместе с другими главными лучами.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы. Она задаёт основное направление, относительно которого описывают ход лучей и расположение предмета с изображением. Обозначения расстояний и фокусов обычно рассматривают именно вдоль этой оси.

Фокус линзы — точка, где после преломления сходятся лучи, шедшие параллельно главной оптической оси, либо их продолжения. Расстояние от фокуса до оптического центра называют фокусным расстоянием F. Оно показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет, и входит в формулу тонкой линзы.

Как это устроено

Луч через оптический центр считают непереломившимся потому, что у тонкой линзы точки входа и выхода такого луча расположены очень близко. На границах линзы луч преломляется дважды, а направления этих отклонений почти компенсируют друг друга. В модели тонкой линзы оставшееся отклонение принимают равным нулю, что заметно упрощает построение.

Для построения изображения используют главные лучи, путь которых легко предсказать. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус; для рассеивающей линзы он расходится так, словно вышел из фокуса перед линзой. Луч, проходящий через фокус до собирающей линзы, после неё идёт параллельно оси. Пересечение преломлённых лучей даёт действительное изображение, а пересечение их продолжений назад — мнимое.

Формула получается из геометрии подобных треугольников, возникающих при построении предмета, изображения и фокуса. Если обозначить расстояние от предмета до линзы через d, расстояние до изображения через f, а фокусное расстояние через F, отношения соответствующих сторон этих треугольников связывают высоты предмета и изображения с d, f и F. Исключив высоты и преобразовав равенства, получают 1/F = 1/d + 1/f. Формула позволяет находить неизвестное расстояние, не строя изображение в масштабе.

Знак расстояния важен, потому что одна и та же линза может давать изображение по разные стороны от неё. При принятом соглашении реальный предмет имеет d > 0; действительное изображение за линзой — f > 0, а мнимое изображение со стороны предмета — f < 0. Для собирающей линзы F положительно, поскольку параллельные лучи действительно сходятся за линзой; для рассеивающей F отрицательно, поскольку пересекаются только продолжения лучей.

Сначала по формуле находят f, затем по его знаку определяют, действительное изображение или мнимое. Линейное увеличение Γ = h′/h = −f/d показывает отношение высоты изображения к высоте предмета: модуль больше единицы означает увеличение, меньше единицы — уменьшение. Отрицательный знак Γ указывает на перевёрнутое изображение, положительный — на прямое. Для рассеивающей линзы отрицательное F обычно приводит для реального предмета к отрицательному f и положительному увеличению: изображение мнимое, прямое и уменьшенное.

Величины и знаки в формуле тонкой линзы

В таблице приведено соглашение, используемое в примерах: предмет реальный, а расстояния отсчитываются вдоль главной оси. Знак изображения и увеличения помогает описать его свойства, а знак фокусного расстояния различает собирающую и рассеивающую линзы. Для вычисления оптической силы фокусное расстояние обязательно выражают в метрах.

Разбор задач

Задача 1. Собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см находится на расстоянии 60 см от предмета. Найдём расстояние до изображения и проверим его характер. Здесь F = 20 см и d = 60 см, оба значения положительны.

1. Запишем формулу: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/20 − 1/60 = 1/30 см⁻¹.
3. Получим f = 30 см. Положительный знак означает, что изображение действительное и расположено за линзой.

Ответ: изображение находится в 30 см за линзой, оно действительное. Проверка по построению согласуется с результатом: предмет дальше двойного фокусного расстояния, поэтому изображение возникает между F и 2F.

Задача 2. Предмет находится в 15 см от собирающей линзы, а его действительное изображение — в 30 см за линзой. Требуется определить фокусное расстояние и оптическую силу. Поскольку предмет и изображение реальные, d = 15 см и f = 30 см положительны.

1. Подставим значения: 1/F = 1/15 + 1/30 = 1/10 см⁻¹.
2. Следовательно, F = 10 см. Это согласуется с собирающей линзой и положительным фокусным расстоянием.
3. Переведём F в метры: 10 см = 0,10 м. Вычислим D = 1/F = 1/0,10 м = 10 дптр.

Ответ: фокусное расстояние равно 10 см, оптическая сила — 10 дптр. Перевод в метры нужен именно для оптической силы, поскольку диоптрия равна обратному метру.

Задача 3. Рассеивающая линза имеет F = −25 см, предмет расположен в 40 см от неё. Нужно определить положение изображения, его характер и увеличение. Расстояние до реального предмета положительно: d = 40 см.

1. Подставим данные: 1/f = 1/F − 1/d = −1/25 − 1/40 = −13/200 см⁻¹.
2. Отсюда f = −200/13 см ≈ −15,4 см. Минус показывает, что изображение находится со стороны предмета и является мнимым.
3. Найдём увеличение: Γ = −f/d ≈ −(−15,4)/40 ≈ 0,38. Оно положительно, значит изображение прямое; модуль меньше единицы, значит уменьшенное.

Ответ: изображение мнимое, прямое и уменьшенное, оно расположено примерно в 15,4 см от линзы со стороны предмета; Γ ≈ 0,38. Отрицательный знак F необходим, иначе расчёт описывал бы другую линзу и дал бы неверное положение изображения.

Типичные ошибки

Подставляют сантиметры при расчёте оптической силы. Ошибка возникает, когда единицы из условия переносят в формулу без проверки. В результате получают число, которое не выражено в диоптриях. Перед вычислением используйте D = 1/F и переведите F в метры; размерность результата должна быть м⁻¹.

Считают фокусное расстояние рассеивающей линзы положительным. Так происходит, если воспринимать F только как длину, которая всегда положительна. Но в формуле знак показывает положение фокуса относительно линзы: для рассеивающей линзы он мнимый, поэтому F < 0. Проверьте тип линзы и ход параллельных лучей.

Путают расстояния до предмета и изображения или забывают выбрать правило знаков. Обозначения d и f относятся к разным объектам, поэтому их нельзя менять местами. Если подставлять знаки наугад, формула может дать формально верное вычисление с физически неверным результатом. Подпишите величины и сначала решите, где относительно линзы находятся предмет и изображение.

Определяют характер изображения по одному знаку, не учитывая ситуацию целиком. Например, можно принять отрицательное f за ошибку, хотя оно соответствует мнимому изображению. Знак нужно сопоставлять с типом линзы и положением предмета, а увеличение помогает установить, прямое ли изображение и уменьшено ли оно. Проверьте, согласуется ли ответ с лучевым построением.

Связь с другими темами

Для понимания формулы нужны законы преломления света, правила хода главных лучей и свойства подобных треугольников. Расчёт линз помогает разобраться в работе очков, фотоаппаратов, проекторов, микроскопов и телескопов. Он связан с оптической силой и построением изображений, а в сложных оптических системах расчёт проводят для нескольких линз. Поэтому умение следить за знаками пригодится и при изучении таких систем.

Что запомнить

• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения: 1/F = 1/d + 1/f.
• Для собирающей линзы фокусное расстояние положительно, для рассеивающей — отрицательно.
• Оптическая сила линзы равна обратной величине фокусного расстояния в метрах: D = 1/F.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают идущим без отклонения.
• Положение изображения определяют по формуле, а его свойства — по знакам расстояния и увеличения.
• Результат расчёта нужно проверять по физическому смыслу и построению лучей.