3. Формула тонкой линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — модель линзы, у которой толщиной можно пренебречь по сравнению с расстояниями до предмета и изображения. Поэтому линзу изображают условным отрезком, а действие её поверхностей заменяют одним преломлением в общей плоскости. Такая модель упрощает построение лучей и расчёты.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса; обозначается F или f. Главный фокус — точка, в которой после собирающей линзы сходятся параллельные лучи. Фокусное расстояние показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет.

Оптическая сила линзы — величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Она обозначается D и измеряется в диоптриях. Чем меньше фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет направление лучей и тем больше её оптическая сила.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние d от предмета до линзы и расстояние f от линзы до изображения: 1/F = 1/d + 1/f. Зная любые две из этих величин, можно вычислить третью. Для корректного результата расстояния нужно выражать в одинаковых единицах.

Как это устроено

Толщиной линзы пренебрегают, когда она намного меньше расстояний до предмета и изображения. Тогда разница между точками преломления на передней и задней поверхностях почти не влияет на результат. Все действия линзы условно относят к одной плоскости, проходящей через оптический центр.

Для построения изображения достаточно двух главных лучей. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр почти не меняет направления. Пересечение этих лучей задаёт положение изображения и связывает d и f с F.

Если предмет приближать к фокусу собирающей линзы со стороны, где он находится дальше фокуса, лучи после линзы сходятся всё позже. Значит, точка пересечения удаляется от линзы. В пределе, когда предмет оказался в фокусе, параллельные после линзы лучи не пересекаются на конечном расстоянии, поэтому действительное изображение не образуется.

Из подобных треугольников, возникающих при построении главных лучей, получают соотношение между высотой предмета, высотой изображения и расстояниями. После преобразования оно принимает вид 1/F = 1/d + 1/f. Здесь F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — расстояние до изображения.

Оптическая сила нужна, чтобы быстро сравнивать линзы по их действию. Если F = 0,5 м, то D = 1/0,5 м = 2 дптр; если D известно, фокусное расстояние находят обратным действием: F = 1/D. Для собирающей линзы оптическую силу обычно считают положительной, а для рассеивающей — отрицательной.

Величины и соотношения в формуле тонкой линзы

Сначала найдите в условии величины d, f и F, а затем выберите нужную строку таблицы. Если требуется оптическая сила, фокусное расстояние обязательно переведите в метры. При подстановке в формулу все расстояния должны быть выражены в одной единице.

Разбор задач

Задача 1

Условие: собирающая линза имеет F = 10 см, предмет находится на расстоянии d = 30 см. Нужно найти f. Предмет расположен дальше фокуса, поэтому ожидаем действительное изображение за линзой.

1. Запишем формулу: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выразим неизвестное: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15.
3. Перевернём дробь и получим f = 15 см.

Ответ: расстояние от линзы до изображения равно 15 см.

Задача 2

Условие: d = 30 см, а действительное изображение находится на расстоянии f = 60 см. Требуется найти F и D. Длины пока даны в сантиметрах, поэтому для оптической силы результат затем переведём в метры.

1. Найдём фокусное расстояние: 1/F = 1/30 + 1/60 = 3/60 = 1/20, значит F = 20 см.
2. Переведём фокусное расстояние: 20 см = 0,20 м.
3. Вычислим оптическую силу: D = 1/0,20 м = 5 дптр.

Ответ: F = 20 см, D = 5 дптр.

Задача 3

Условие: высота предмета H = 2 см, d = 30 см, F = 20 см. Нужно найти f, увеличение и высоту изображения. Так как d больше F, изображение будет действительным и перевёрнутым.

1. По формуле линзы: 1/f = 1/20 − 1/30 = 1/60, поэтому f = 60 см.
2. Линейное увеличение по модулю равно Γ = f/d = 60/30 = 2.
3. Высота изображения по модулю H′ = ΓH = 2 · 2 = 4 см; знак минус означает перевёрнутое изображение.

Ответ: изображение находится на расстоянии 60 см, увеличение равно 2, высота изображения 4 см, оно перевёрнутое.

Типичные ошибки

При вычислении оптической силы подставляют F в сантиметрах. Так получают число, которое не выражено в диоптриях, потому что диоптрия связана с метром. Проверьте себя: перед расчётом D число сантиметров должно быть разделено на 100.

Иногда расстояние от предмета до линзы путают с расстоянием от предмета до фокуса. В формуле d отсчитывается именно от оптического центра линзы, а не от фокуса. Нарисуйте главную ось и отметьте на ней линзу, предмет и фокус.

Неверное преобразование формулы может дать отрицательное или явно неподходящее расстояние. После выражения неизвестной величины подставьте результат обратно в исходную формулу. Для обычного действительного изображения собирающей линзы расстояние до изображения должно быть положительным при выбранном школьном соглашении.

Забывают определить характер изображения и его ориентацию. Действительное изображение собирающей линзы обычно перевёрнуто, а отрицательный знак увеличения указывает именно на перевёрнутость. Сверьте результат с построением двух главных лучей.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны правила построения изображений главными лучами и свойства собирающих и рассеивающих линз. Без них трудно понять, где находится фокус и почему изображение бывает действительным или мнимым.

Вычисления требуют умения складывать дроби, преобразовывать формулы и переводить сантиметры в метры. Эти навыки помогают не ошибаться в расстояниях и диоптриях.

Формула тонкой линзы используется при изучении глаза и очков, а также в устройстве фотоаппарата, микроскопа и телескопа. Во всех этих приборах линзы формируют изображения предметов.

Что запомнить

• Формула тонкой линзы связывает F, d и f: 1/F = 1/d + 1/f.
• Для собирающей линзы действительное изображение можно получить, если предмет находится дальше фокуса.
• Оптическая сила равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах.
• Единица оптической силы — диоптрия.
• Чем меньше фокусное расстояние, тем больше оптическая сила линзы.
• При приближении предмета к фокусу собирающей линзы изображение удаляется от линзы.
• Перед вычислением нужно привести все расстояния к одной системе единиц.