3. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Его проекция на выбранную ось обозначается s или Δx и равна разности координат: s = x − x₀. Это позволяет описывать движение числом со знаком и учитывать направление.

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. При таком движении скорость за равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Модель нужна, чтобы заранее рассчитывать положение и скорость тела.

Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени; его обозначают a. Проекция ускорения показывает, в какую сторону относительно оси меняется скорость. Единица ускорения в СИ — м/с².

Средняя скорость при равноускоренном движении — отношение перемещения ко всему времени движения. При постоянном ускорении она равна полусумме начальной и конечной скоростей: vср = (v₀ + v)/2. Через неё удобно связывать перемещение со временем и скоростями.

Как это устроено

Перемещение рассматривают как разность конечной и начальной координат, потому что координата показывает положение тела относительно начала отсчёта. Если тело движется в положительном направлении, разность получается положительной, а при движении в обратную сторону — отрицательной. Когда тело возвращается в исходную точку, координаты совпадают и перемещение равно нулю, хотя пройденный путь может быть ненулевым.

Ускорение показывает, насколько изменяется скорость за единицу времени: при постоянном a за время t изменение скорости равно at. Поэтому к начальной скорости v₀ добавляется величина at, и получается линейный закон v = v₀ + at. Линейность означает, что график скорости от времени является прямой.

При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно: в начале промежутка она равна v₀, а в конце — v. Значение, одинаково учитывающее все моменты движения, находится посередине между этими скоростями. Поэтому средняя скорость равна (v₀ + v)/2, если ускорение не меняется.

Перемещение можно выразить через среднюю скорость: s = vсрt. Подставим vср = (v₀ + v)/2 и закон v = v₀ + at: s = ((v₀ + v)/2)t = ((v₀ + v₀ + at)/2)t. После упрощения получаем s = v₀t + at²/2.

Характер движения определяется знаками проекций скорости и ускорения. Если они имеют одинаковые знаки, модуль скорости возрастает и тело разгоняется; если знаки противоположны, модуль скорости уменьшается и тело тормозит. При v = 0 тело остановилось, а при дальнейшем движении с ненулевым ускорением может начать двигаться в обратную сторону.

Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

В таблице собраны формулы для разных исходных данных. Сначала выберите строку, в которой известны нужные величины, затем проверьте направление оси и единицы измерения. Формулы применимы при постоянном ускорении.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль начинает движение из состояния покоя с ускорением 2 м/с². Найдём перемещение за 5 с. Начальная скорость равна нулю, поэтому используется формула для движения из состояния покоя.

1. Запишем данные: v₀ = 0, a = 2 м/с², t = 5 с.
2. Подставим значения: s = at²/2 = 2 · 5²/2 = 25 м.
3. Проверим единицы: (м/с²) · с² дают метры.

Ответ: автомобиль совершил перемещение 25 м в направлении движения.

Задача 2

Тело движется со скоростью 6 м/с и ускорением 1,5 м/с² в течение 4 с. Требуется найти конечную скорость и перемещение. Положительное направление выберем по начальной скорости, поэтому обе данные проекции положительны.

1. Конечная скорость: v = v₀ + at = 6 + 1,5 · 4 = 12 м/с.
2. Перемещение: s = v₀t + at²/2 = 6 · 4 + 1,5 · 4²/2 = 24 + 12 = 36 м.
3. Ускорение положительно, поэтому тело разгоняется, что согласуется с ростом скорости от 6 до 12 м/с.

Ответ: конечная скорость равна 12 м/с, перемещение — 36 м.

Задача 3

Тело движется со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением −4 м/с². Найдём время до остановки и перемещение за это время. Отрицательный знак ускорения показывает, что оно направлено противоположно начальной скорости.

1. В момент остановки v = 0, поэтому 0 = 20 − 4t и t = 5 с.
2. Перемещение до остановки: s = v₀t + at²/2 = 20 · 5 − 4 · 5²/2 = 100 − 50 = 50 м.
3. Проверим вторым способом: s = (v₀ + v)t/2 = (20 + 0) · 5/2 = 50 м.

Ответ: тело остановится через 5 с и совершит перемещение 50 м.

Типичные ошибки

Подмена перемещения пройденным путём приводит к неверному знаку или величине ответа. Так происходит, когда учитывают только длину траектории и забывают о направлении; проверьте, сравнив начальную и конечную координаты.

Формула s = v₀t + at² ошибочна: вторая часть должна быть at²/2. Ошибка возникает при попытке просто прибавить изменение скорости; подстановка чисел в проверочную формулу через среднюю скорость выявит её.

При торможении нельзя автоматически записывать ускорение положительным. Если положительное направление совпадает с начальной скоростью, тормозящее ускорение отрицательно; проверьте, уменьшается ли по формуле v = v₀ + at модуль скорости.

Подстановка конечной скорости вместо начальной смешивает разные формулы и меняет результат. В выражении s = v₀t + at²/2 используется именно v₀, а конечную скорость сначала находят по v = v₀ + at.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координата, перемещение, скорость, ускорение, проекция вектора и умение переводить величины в единицы СИ. Эти знания позволяют правильно выбрать ось и знаки.

Формулы пригодятся при построении графиков движения, изучении свободного падения и движения тела, брошенного под углом. Они также применяются в задачах на разгон, торможение и остановку транспорта.

Что запомнить

• Перемещение равно разности конечной и начальной координат.
• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение определяется формулой s = v₀t + at²/2.
• При постоянном ускорении средняя скорость равна (v₀ + v)/2.
• Знак перемещения и ускорения зависит от выбранного положительного направления оси.