"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Относительная скорость показывает, как движется одно тело по сравнению с другим. Она нужна, когда мы ищем время встречи или обгона, определяем расстояние между движущимися объектами или рассматриваем лодку на течении. Чтобы её найти, вычитают вектор скорости наблюдателя из вектора скорости тела. Поэтому направление так же важно, как числовое значение скорости: векторы могут складываться или вычитаться по-разному.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого, то есть разность векторов скорости тела и скорости наблюдателя: vₐ относительно B = vₐ − vᵦ. Наблюдателем может быть пассажир другого автомобиля или человек на берегу. Величина показывает, как меняется положение тела A для наблюдателя, связанного с телом B. Она нужна, чтобы описывать встречу, обгон и движение в разных системах отсчёта.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между телами. Она связана с относительной скоростью: если расстояние сокращается, скорость сближения равна модулю составляющей относительной скорости вдоль линии между телами. При движении по одной прямой навстречу друг другу скорости обоих тел уменьшают расстояние. Поэтому для этой ситуации скорость сближения равна сумме модулей скоростей.
Скорость удаления — скорость, с которой увеличивается расстояние между телами. Её также определяют через относительное движение: рассматривают, насколько быстро меняется расстояние от одного тела до другого. При движении по одной прямой в одном направлении она зависит от разности скоростей и взаимного расположения тел. Это понятие помогает понять, за какое время объекты разойдутся на нужное расстояние.
Чтобы описать движение одного тела относительно другого, сначала выбирают тело отсчёта — объект, относительно которого наблюдают движение. Это необходимо потому, что одно и то же тело может иметь разные скорости относительно земли и движущегося автомобиля. Например, пассажир, идущий по салону, одновременно движется относительно автобуса и относительно дороги. Поэтому в задаче нужно уточнить, чью точку зрения мы используем.
Скорость тела относительно наблюдателя получают вычитанием векторов: vₐ относительно B = vₐ − vᵦ. Причина в том, что положение A относительно B задаётся разностью их положений, а скорость — это изменение положения за время. Если наблюдатель движется вместе с телом A, то для него A покоится: вычитание одинаковых векторов даёт ноль. Если наблюдатель движется навстречу A, относительная скорость оказывается больше скорости A относительно земли.
При движении по одной прямой удобно выбрать ось и обозначать направления знаками «плюс» и «минус». Если тела едут в одну сторону, их скорости имеют одинаковые знаки, поэтому модуль относительной скорости равен разности модулей. Если тела движутся навстречу, знаки противоположны, и модуль относительной скорости равен сумме модулей. Так не приходится запоминать отдельные правила для каждого случая: достаточно правильно задать направление оси.
Когда траектории тел пересекаются под углом, скорости нельзя просто складывать как числа. Сначала строят вектор относительной скорости, вычитая один вектор скорости из другого; для скорости сближения или удаления учитывают, как этот вектор направлен относительно линии, соединяющей тела. При прямом угле модуль относительной скорости находят по теореме Пифагора: vотн = √(v₁² + v₂²). При произвольном угле θ между скоростями используют формулу vотн = √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos θ).
Чтобы найти время встречи, определяют начальное расстояние между телами и скорость, с которой оно уменьшается. Если скорость сближения постоянна, то t = s₀ / vсбл, где s₀ — начальное расстояние. Для расстояния через время t используют относительную скорость: изменение положения одного тела относительно другого равно vотн · t. Если движение не направлено вдоль линии между телами, для изменения самого расстояния может понадобиться найти проекцию относительной скорости на эту линию.
| Направления скоростей | Относительная скорость | Скорость сближения или удаления |
|---|---|---|
| Движение по одной прямой в одном направлении | Модуль разности скоростей: |v₁ − v₂| | Зависит от расположения тел и от того, какое из них быстрее: расстояние может уменьшаться или увеличиваться |
| Движение по одной прямой в противоположных направлениях | Сумма модулей скоростей: |v₁| + |v₂| | При движении навстречу — сумма модулей; при движении в разные стороны от общей точки — также сумма модулей |
| Движение под прямым углом | √(v₁² + v₂²) | Модуль относительной скорости равен этому значению; скорость изменения расстояния зависит от направления линии между телами |
| Движение под произвольным углом | √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos θ), где θ — угол между векторами | Для сближения или удаления учитывают проекцию относительной скорости на линию между телами |
В таблице сначала определите, как направлены векторы, а затем выберите формулу для относительной скорости. Для прямой удобно назначить направлениям знаки и вычесть скорости с учётом этих знаков. При движении под углом стройте векторы и проверяйте, что именно требуется найти: модуль относительной скорости или скорость изменения расстояния между телами.
Два автомобиля движутся по одной дороге в одном направлении со скоростями 20 м/с и 15 м/с. Найти скорость первого автомобиля относительно второго. Здесь важно не складывать модули: оба автомобиля движутся в одну сторону, поэтому второй автомобиль уже «уносится» вслед за первым. Относительная скорость показывает, насколько быстро первый обгоняет второй.
Ответ: скорость первого автомобиля относительно второго равна 5 м/с в направлении движения автомобилей. Если бы скорости были переставлены, знак относительной скорости изменился бы: второй автомобиль удалялся бы от первого со скоростью 5 м/с.
Два велосипедиста едут навстречу друг другу со скоростями 6 м/с и 4 м/с, расстояние между ними — 200 м. Нужно найти время до встречи. Оба велосипедиста приближаются к месту встречи, поэтому расстояние сокращается под действием обеих скоростей. Значит, их скорости сближения складываются.
Ответ: велосипедисты встретятся через 20 с. Проверка: за это время первый проедет 120 м, второй — 80 м; вместе они преодолеют начальные 200 м.
Лодка движется перпендикулярно берегу относительно воды, а течение направлено вдоль берега. Числовые значения скорости лодки и течения, а также ширина реки не заданы, поэтому запишем решение через обозначения: vл — скорость лодки относительно воды, vт — скорость течения, d — ширина реки. Скорость лодки относительно берега получается сложением двух векторов. Они взаимно перпендикулярны, поэтому лодка движется по диагональному направлению.
Ответ: скорость лодки относительно берега равна √(vл² + vт²), время переправы — d / vл, а перемещение складывается из поперечного пути d и сноса vтd / vл вдоль берега. Направление движения отклонено течением от перпендикуляра к берегу.
Первая ошибка — складывать или вычитать модули, не учитывая направления векторов. Её допускают, когда запоминают правило «встречные скорости складываются» без выбора оси. Проверьте себя: назначьте направлениям знаки и выполните вычитание векторов, а затем интерпретируйте результат.
Вторая ошибка — считать скорость сближения равной скорости только одного тела. Так бывает, если внимание сосредоточено на одном участнике движения и не замечено, что второй тоже меняет расстояние до него. Проверьте, как за одну секунду изменится расстояние с учётом перемещения обоих тел: именно это изменение и есть скорость сближения.
Третья ошибка — путать скорость тела относительно земли со скоростью относительно движущегося наблюдателя. Путаница возникает, если не указано, относительно чего описывается движение. Перед вычислением подпишите систему отсчёта у каждой скорости и используйте формулу vₐ относительно B = vₐ − vᵦ.
Четвёртая ошибка — складывать модули скоростей, когда тела движутся под углом. При таком расчёте теряется информация о направлениях, и результат может оказаться неверным. Нарисуйте векторы и найдите их разность; при прямом угле проверьте результат по формуле √(v₁² + v₂²), а не v₁ + v₂.
Для работы с относительной скоростью нужно знать, что скорость — векторная величина, и уметь складывать и вычитать векторы. Также важно правильно выбрать систему отсчёта и связать положение тела с его движением. Эти знания применяются в задачах на встречу и обгон, где относительная скорость упрощает расчёт времени или расстояния. Тот же подход используют при описании лодки на течении: скорость относительно берега складывают из скорости лодки относительно воды и скорости потока.
Что означает скорость одного тела относительно другого?
Это скорость, с которой первое тело движется для наблюдателя, связанного со вторым телом. Она показывает, как меняется положение одного тела по отношению к другому.
Почему относительную скорость находят вычитанием векторов?
Положение первого тела относительно второго — это разность их радиус-векторов. При изменении времени скорость такого положения тоже равна разности: vотн = v₁ − v₂.
Когда скорости при движении навстречу нужно складывать?
Когда тела движутся по одной прямой навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается под действием обеих скоростей. Поэтому скорость сближения равна сумме модулей их скоростей.
Как найти относительную скорость, если тела движутся под прямым углом?
Нужно вычесть векторы скоростей, а для взаимно перпендикулярных векторов модуль разности находят по теореме Пифагора. Если скорости равны v₁ и v₂, то относительная скорость равна √(v₁² + v₂²).
Как по относительной скорости определить время встречи?
Сначала находят скорость сближения — скорость уменьшения расстояния между телами. Затем начальное расстояние делят на эту скорость: t = s₀ / vсбл.
3. Тела движутся в разных направлениях
