"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Система тел — несколько тел, движение которых удобно изучать совместно. Для этого находят центр масс, складывают импульсы тел и отделяют внутренние силы от внешних. Главный результат: центр масс движется так, будто вся масса системы сосредоточена в этой точке, а действует на неё только равнодействующая внешних сил. Если внешняя равнодействующая равна нулю, импульс системы сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система тел — совокупность тел, которые рассматривают совместно. Нужно заранее указать, какие именно тела входят в систему и какие взаимодействия учитываются. Это позволяет понять, какие силы будут внутренними, а какие — внешними.
Центр масс системы тел — точка, положение которой определяется массами тел и их координатами: rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + …)/M. Это «среднее положение» всей массы системы, причём более массивное тело сильнее влияет на результат. Центр масс нужен, чтобы описывать сложное движение одной точкой.
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел: p = p₁ + p₂ + … . Импульс зависит от выбора системы отсчёта, потому что скорости тел измеряются относительно неё. С его помощью удобно исследовать столкновения, разлёты и отдачу.
Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Тогда общий импульс системы не изменяется. Отдельные тела при этом могут взаимодействовать и менять свои скорости.
Сначала выделяют систему тел, потому что один и тот же объект может быть внутренним для одной системы и внешним для другой. Например, сила руки на брусок внешняя для бруска, но внутренняя для системы «рука — брусок». Такое разделение показывает, какие силы определяют движение всей системы.
Для каждого тела записывают второй закон Ньютона: mᵢaᵢ = Fᵢ. Затем складывают все такие уравнения. Внутренние силы входят попарно: по третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому взаимно уничтожаются при сложении.
Связь ускорений отдельных тел с центром масс задаётся формулой Mац.м. = m₁a₁ + m₂a₂ + … . После сложения уравнений Ньютона остаётся только равнодействующая внешних сил. Поэтому уравнение движения центра масс имеет вид Mац.м. = Fвнеш.
Это позволяет заменить сложную систему более простой моделью: представить всю массу M сосредоточенной в центре масс. Внутренние силы могут сильно менять расположение тел, например при столкновении или растяжении пружины. Но они не меняют движение центра масс, поскольку не дают вклада в общую сумму сил.
Если Fвнеш = 0, то а₍ц.м.₎ = 0, следовательно, скорость центра масс постоянна. Так как p = Mvц.м. при постоянной массе системы, общий импульс тоже не меняется. Это и есть закон сохранения импульса для замкнутой системы.
В таблице собраны главные величины и переходы от характеристик отдельных тел к характеристикам системы. Сначала находят массу, центр масс и импульс, затем определяют внешнюю равнодействующую. Последние строки показывают, когда можно утверждать сохранение импульса.
| Величина или условие | Выражение для системы тел | Физический смысл | Следствие |
|---|---|---|---|
| Масса системы | M = m₁ + m₂ + … | Общая масса всех тел | Определяет инертность системы |
| Положение центра масс | rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + …)/M | Среднее положение массы | Позволяет заменить систему одной точкой |
| Импульс системы | p = Σpᵢ = Mvц.м. | Общее количество движения | Изменяется под действием внешних сил |
| Равнодействующая внешних сил | Fвнеш = ΣFвнеш,ᵢ | Итоговое действие внешних сил | Определяет ускорение центра масс |
| Уравнение движения центра масс | Mац.м. = Fвнеш | Второй закон Ньютона для системы | а₍ц.м.₎ = Fвнеш/M |
| Условие замкнутости системы | Fвнеш = 0 | Нет изменения общего импульса | Центр масс движется равномерно |
| Закон сохранения импульса | p = const, или pдо = pпосле | Импульс сохраняется | Можно связать состояния до и после взаимодействия |
Два тела имеют массы 2 кг и 3 кг и находятся в точках x₁ = 0 м и x₂ = 4 м. Пусть их скорости направлены вдоль одной оси и равны v₁ = 3 м/с и v₂ = −1 м/с. Требуется найти координату и скорость центра масс.
Ответ: xц.м. = 2,4 м, vц.м. = 0,6 м/с в положительном направлении оси. Масса второго тела больше, поэтому центр масс расположен ближе к нему.
Два бруска массами 2 кг и 3 кг связаны и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. К системе приложена горизонтальная сила 10 Н, направленная на первый брусок. Найдём ускорение системы и силу взаимодействия между брусками.
Ответ: ускорение системы равно 2 м/с², сила взаимодействия между брусками — 6 Н. Сначала система дала общее ускорение, затем отдельное тело позволило найти внутреннюю силу.
Тележка массой 10 кг с грузом массой 2 кг движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 1 м/с. Груз перемещается относительно тележки и после этого движется со скоростью 3 м/с относительно земли. Найдём скорость тележки.
Ответ: тележка движется со скоростью 0,6 м/с в прежнем направлении. Внутреннее перемещение груза изменило скорости тел, но не импульс всей системы.
Считать внутренние силы внешними. Так бывает, когда границы системы меняют прямо во время решения. Для всей системы сила одного тела на другое внутренняя, поэтому проверьте, входят ли оба тела в выбранную систему.
Складывать скорости вместо импульсов. Скорости имеют разные направления и относятся к телам с разными массами. Сначала вычислите pᵢ = mᵢvᵢ, а затем сложите импульсы векторно.
Утверждать, что центр масс всегда неподвижен. Он может двигаться с постоянной скоростью, если система замкнута. Проверьте равнодействующую внешних сил: нулевая сила означает отсутствие ускорения, а не обязательно покой.
Применять сохранение импульса при внешнем воздействии. Закон нельзя использовать без проверки внешнего импульса. Убедитесь, что Fвнеш = 0 или внешний импульс за данный промежуток времени пренебрежимо мал.
Для темы нужны законы Ньютона, понятие импульса тела, сложение векторов и понимание системы отсчёта. Эти знания позволяют перейти от отдельных тел к общей модели.
Закон сохранения импульса применяется при столкновениях, разлётах, отдаче и реактивном движении. Он связывает состояние системы до взаимодействия и после него.
Дальше идея центра масс пригодится при изучении движения ракет, механики твёрдого тела, колебаний связанных тел и задач с несколькими взаимодействующими объектами.
Как правильно выбрать границы системы тел?
В систему включают тела, движение которых нужно изучить вместе. Границы выбирают так, чтобы внутренние взаимодействия было удобно исключить, а внешние силы — явно учесть.
Почему внутренние силы не влияют на движение центра масс?
Внутренние силы возникают попарно и по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их векторная сумма для всей системы равна нулю.
Может ли центр масс находиться вне тела или системы тел?
Да, центр масс может находиться вне вещества системы. Например, у кольца или двух разнесённых тел он расположен в области, где вещества нет.
Когда можно применять закон сохранения импульса?
Закон применим, если равнодействующая внешних сил равна нулю или внешний импульс за рассматриваемый промежуток времени можно считать нулевым. Перед применением нужно указать систему и проверить это условие.
Чем движение центра масс отличается от движения каждого отдельного тела?
Отдельные тела могут ускоряться, сталкиваться и двигаться в разные стороны, а центр масс описывает их общее движение. Его ускорение определяется только равнодействующей внешних сил.
2. Как исследовать движение системы тел?
