"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Движение тел в одном направлении удобно описывать через расстояние между ними и скорость сближения. Такой подход помогает решать задачи на догоняние автомобилей, поездов, велосипедистов и пешеходов. Главное правило: если одно тело движется быстрее другого, расстояние между ними уменьшается со скоростью, равной разности скоростей. Зная начальную дистанцию, можно найти время встречи и положение тел в любой момент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — тело отсчёта, координатная ось и часы, относительно которых описывают движение. Выбор системы отсчёта задаёт, как будут выглядеть координаты и скорости тел. Для задач на догоняние удобно направить ось по движению и отсчитывать расстояние от одного из тел.
Относительная скорость — скорость изменения расстояния между движущимися телами. Она показывает, насколько быстро одно тело перемещается относительно другого. С её помощью можно изучать встречу или удаление тел, не находя отдельно все их координаты.
Скорость сближения — величина, с которой уменьшается расстояние между телами, движущимися в одном направлении. Если впереди идущее тело имеет скорость v₂, а догоняющее — v₁, то при v₁ > v₂ скорость сближения равна их разности. Она нужна, чтобы быстро определить, как скоро исчезнет начальный промежуток.
Время догоняния — промежуток времени от начала наблюдения до момента, когда догоняющее тело сравняется с другим. Оно обозначается tдог и находится делением начального расстояния на скорость сближения. В момент догоняния координаты тел одинаковы, а расстояние между ними равно нулю.
Описание движения зависит от тела отсчёта, потому что координата показывает положение именно относительно выбранного начала. Например, пассажир может считать неподвижным вагон, а наблюдатель на платформе видит движение вагона. В задачах сначала выбирают ось, обычно направленную по движению, затем задают начальное расстояние l₀ и считают скорости положительными в выбранном направлении.
Пусть в начальный момент догоняющее тело находится позади на расстоянии l₀. За время t оно проходит путь v₁t, а тело впереди — путь v₂t. Из начального промежутка вычитается не весь путь догоняющего тела, а только его преимущество над вторым телом, поэтому l = l₀ − v₁t + v₂t = l₀ − (v₁ − v₂)t.
В момент встречи расстояние становится равным нулю. Значит, из уравнения 0 = l₀ − (v₁ − v₂)t получаем tдог = l₀/(v₁ − v₂). То же самое можно понять через пути: догоняющее тело должно пройти на l₀ больше, чем тело впереди, а эта разница путей нарастает со скоростью сближения.
Догоняние возможно только при v₁ > v₂. Если скорости одинаковы, расстояние сохраняется, а если догоняющее тело медленнее, промежуток увеличивается. Чтобы найти расстояние в любой момент, подставляют время в формулу l = l₀ − (v₁ − v₂)t; до встречи результат положителен, в момент встречи равен нулю, а отрицательное значение означает, что выбранная модель уже описывает движение после пересечения.
Для наглядности можно построить графики координат: по горизонтали откладывают время, по вертикали — координату. Прямая с большим наклоном соответствует большей скорости, а точка пересечения прямых показывает момент и координату встречи. Если прямые не пересекаются при t ≥ 0, догоняния в рассматриваемой ситуации нет.
| Величина или условие | Формула | Физический смысл |
|---|---|---|
| Начальное расстояние между телами | l₀ | Расстояние между телами в начальный момент |
| Скорость сближения при v₁ > v₂ | vсбл = v₁ − v₂ | Скорость уменьшения расстояния между телами |
| Расстояние через время t | l = l₀ − (v₁ − v₂)t | Оставшееся расстояние до момента догоняния |
| Время догоняния | tдог = l₀/(v₁ − v₂) | Момент, когда тела окажутся в одной точке |
| Условие догоняния | v₁ > v₂ | Догоняющее тело должно двигаться быстрее |
Сначала определите, какое тело догоняет, и подпишите его скорость как v₁. Затем проверьте единицы и подставьте начальное расстояние и скорости в нужную формулу. Таблица также помогает проверить смысл ответа: расстояние не должно становиться отрицательным до встречи, а время должно быть положительным.
Велосипедист со скоростью 18 км/ч догоняет велосипедиста, который находится впереди на 12 км и движется со скоростью 12 км/ч. Требуется найти время встречи.
Ответ: велосипедист догонит другого через 2 ч.
Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч, а мотоциклист выезжает вслед за ним через 15 минут со скоростью 90 км/ч. Нужно найти время от старта мотоциклиста до встречи.
Ответ: мотоциклист догонит автомобиль через 1 ч после своего выезда.
Первый поезд движется со скоростью 54 км/ч и находится впереди на 2 км. Второй поезд догоняет его через 4 минуты. Найдём скорость второго поезда и пути поездов до встречи.
Ответ: скорость второго поезда 84 км/ч; до встречи первый прошёл 3,6 км, второй — 5,6 км. Разность путей равна 2 км, что подтверждает решение.
Складывают скорости при движении в одном направлении. Так делают, перенося правило для движения навстречу друг другу, но здесь пути частично компенсируют друг друга. Проверьте направление: при догонянии должна использоваться разность скоростей.
Используют формулу t = l₀/(v₁ + v₂), не определив направление движения тел. Сумма подходит для сближения навстречу, а для движения в одну сторону нужна разность. Нарисуйте стрелки скоростей и подпишите, уменьшается ли расстояние за счёт суммы или разности перемещений.
Забывают учесть фору тела, которое начало движение раньше. Тогда начальное расстояние между участниками принимают равным нулю или указанной в условии дистанции, хотя автомобиль уже успел уехать. Переведите время задержки в часы и вычислите путь первого тела до старта второго.
Смешивают километры, часы, метры и секунды. Например, километры нельзя напрямую делить на скорость в метрах в секунду. Перед вычислениями приведите все величины к одной системе и оцените ответ: время не должно иметь отрицательное значение.
Для решения нужны формула равномерного движения s = vt, перевод единиц и понимание пути, скорости и времени. Тема применяется в задачах на относительное движение, обгон, поезда, автомобили и пешеходов. Позже те же идеи помогут строить графики координаты и анализировать движение, состоящее из нескольких этапов.
Почему при движении в одном направлении скорости вычитают, а не складывают?
Оба тела перемещаются в одну сторону, поэтому за одно и то же время они проходят пути в одном направлении. Расстояние между ними уменьшается только на разницу этих путей, поэтому скорость сближения равна v₁ − v₂.
Что произойдёт, если скорости тел одинаковы?
Расстояние между телами останется постоянным, поскольку за одинаковое время они пройдут одинаковые пути. Догоняния не произойдёт, если только тела уже не находятся в одной точке.
Как учитывать, что одно тело начало движение раньше другого?
Сначала находят расстояние, которое успело пройти тело, начавшее движение раньше. Это расстояние прибавляют к первоначальному промежутку или используют как начальную фору, а затем применяют формулу через скорость сближения.
Можно ли применять формулу времени догоняния, если скорости изменяются?
Формула tдог = l₀/(v₁ − v₂) напрямую работает при постоянных скоростях. При изменении скоростей движение нужно разбить на участки или использовать зависимость скорости от времени.
Как понять по условию, какое тело является догоняющим?
Догоняющим называют тело, которое находится позади и движется в ту же сторону. Для догоняния его скорость должна быть больше скорости тела впереди.
1. Тела движутся в одном направлении
