1. Тела движутся в одном направлении

Определения и обозначения

Движение в одном направлении — движение двух тел вдоль одной прямой с совпадающими направлениями скоростей. Тела могут двигаться с разными скоростями, поэтому расстояние между ними не обязательно сохраняется. Это понятие помогает выбрать правильное действие со скоростями.

Скорость сближения — скорость уменьшения расстояния между телами. При движении в одном направлении она равна разности большей и меньшей скоростей: vсбл = vб − vм. Эта величина показывает, насколько сокращается отставание за единицу времени.

Скорость удаления — скорость увеличения расстояния между телами. Для тел, движущихся в одном направлении, она также равна разности скоростей: vуд = |v₁ − v₂|. С её помощью находят новое расстояние после заданного времени.

Время встречи — промежуток от начала наблюдения до момента, когда тела окажутся в одной точке. При догоняющем движении его находят по формуле t = s₀ / vсбл. Здесь s₀ — начальное расстояние между телами.

Как это устроено

Пусть два тела движутся в одном направлении, а первое находится позади второго. За одинаковое время заднее тело проходит путь v₁t, а переднее — путь v₂t. Если заднее тело быстрее, оно проходит больше, поэтому расстояние между телами уменьшается на разность этих путей: (v₁ − v₂)t.

Скорости при догоняющем движении не складывают, потому что тела перемещаются не навстречу друг другу. Пока переднее тело тоже движется вперёд, оно продолжает удаляться от исходного места, а догоняющее сокращает только разницу пройденных путей. Поэтому скорость сближения равна vбыстр − vмедл.

Встреча произойдёт, когда всё начальное расстояние будет сокращено. Путь сближения равен vсблt, а условие встречи записывается так: vсблt = s₀. Отсюда делением обеих частей на скорость сближения получают формулу t = s₀ / vсбл.

Расположение тел и их скорости определяют результат движения. Если быстрое тело позади, оно догоняет медленное; если быстрое тело впереди, расстояние растёт. При одинаковых скоростях тела проходят равные пути за равные промежутки времени, поэтому расстояние остаётся постоянным.

Движение можно описать координатами. Для равномерного движения используют формулу x = x₀ + vt, где x₀ — начальная координата. График координаты и времени для каждого тела является прямой, а её наклон показывает скорость; точка пересечения двух прямых соответствует одинаковым координатам и моменту встречи.

Величины и формулы при движении тел в одном направлении

Сначала найдите расположение более быстрого тела и сравните скорости. Затем выберите формулу для изменения расстояния или времени встречи. Перед вычислениями проверьте, что единицы скорости, расстояния и времени согласованы.

Разбор задач

Задача 1

Из одного пункта одновременно выехали два велосипедиста в одном направлении со скоростями 12 км/ч и 18 км/ч. Требуется найти расстояние между ними через 2 часа. В начале расстояние равно нулю, поэтому оно будет увеличиваться с разностью скоростей.

1. Найдём скорость удаления: vуд = 18 − 12 = 6 км/ч.
2. Умножим её на время: s = vудt = 6 · 2 = 12 км.
3. Единицы уже согласованы: скорость дана в километрах в час, время — в часах.

Ответ: через 2 часа велосипедисты будут находиться на расстоянии 12 км.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью 90 км/ч и догоняет автобус, скорость которого равна 60 км/ч. Начальное расстояние между ними составляет 150 км. Нужно определить время встречи.

1. Автомобиль находится позади и движется быстрее, значит, скорость сближения равна 90 − 60 = 30 км/ч.
2. Начальное расстояние сокращается со скоростью 30 км/ч, поэтому t = s₀ / vсбл = 150 / 30 = 5 ч.
3. Проверим результат: за 5 часов автомобиль пройдёт на 150 км больше автобуса, то есть полностью ликвидирует отставание.

Ответ: автомобиль догонит автобус через 5 часов.

Задача 3

Координаты тел заданы формулами x₁ = 4t и x₂ = 100 + 2t, где координаты измеряются в метрах, а время — в секундах. Встреча произойдёт тогда, когда координаты тел станут одинаковыми. Поэтому можно приравнять данные выражения.

1. Запишем условие встречи: 4t = 100 + 2t.
2. Перенесём 2t в левую часть: 2t = 100, откуда t = 50 с.
3. Подставим время в первую формулу: x = 4 · 50 = 200 м.

Ответ: тела встретятся через 50 с в точке с координатой 200 м.

Типичные ошибки

Складывают скорости при движении в одном направлении. Так делают, потому что помнят правило для движения навстречу. Проверка проста: если оба тела движутся вперёд по одной прямой, изменение расстояния связано с разностью путей.

Вычитают скорости без учёта того, какое тело быстрее. Тогда скорость сближения может получиться отрицательной, хотя она должна показывать положительное уменьшение расстояния. Сначала сравните скорости и вычтите меньшую из большей.

Делят начальное расстояние на скорость одного тела. Одно тело за это время движется тоже, поэтому сокращается не весь путь догоняющего, а разность путей. Используйте относительную скорость: t = s₀ / vсбл.

Путают расстояние между телами с путём одного тела. Путь показывает, сколько прошло конкретное тело, а расстояние — промежуток между телами. Проверяйте единицы: при умножении км/ч на часы должен получиться километр.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формула равномерного движения s = vt, понятия скорости, времени и расстояния. Также необходимо уметь переводить единицы, например километры в метры и часы в секунды.

Эти приёмы применяются в задачах на догоняющее движение и встречу автомобилей, поездов, велосипедистов и пешеходов. Одна и та же схема помогает находить расстояние, скорость или время.

Дальше идея относительной скорости пригодится при изучении относительности движения и графиков координаты. Уравнения координат позволяют решать более сложные задачи, где тела начинают движение из разных точек или в разные моменты.

Что запомнить

• При движении в одном направлении скорости для сближения или удаления вычитают.
• Скорость сближения равна разности скоростей более быстрого и более медленного тела.
• Время встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения.
• Если скорости тел равны, расстояние между ними не изменяется.
• Для проверки встречи можно приравнять координаты тел в один и тот же момент времени.
• Все величины в расчёте должны быть выражены в согласованных единицах.