"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
При движении по окружности скорость и импульс могут сохранять модуль, но непрерывно менять направление. Поэтому импульс тела изменяется даже при равномерном движении. Величина этого изменения зависит от угла поворота скорости, а его направление при малом промежутке времени совпадает с направлением к центру окружности. Анализ изменения импульса позволяет вывести формулы центростремительного ускорения и силы и понять движение транспорта на поворотах, спутников и заряженных частиц.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Вектор импульса направлен так же, как вектор скорости. Это понятие нужно, чтобы учитывать не только быстроту движения, но и его направление.
Изменение импульса тела — векторная разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Здесь p₁ — начальный, а p₂ — конечный импульс. Такая запись показывает, почему при повороте тела изменение возникает даже при одинаковых модулях импульса.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности и изменяющее направление скорости. При равномерном движении оно не увеличивает и не уменьшает модуль скорости. Оно нужно для описания постоянного поворота тела по окружности.
Центростремительная сила — равнодействующая сил, сообщающая телу центростремительное ускорение и изменяющая его импульс. Она направлена к центру окружности. Её роль может выполнять сила натяжения, трения, тяжести или их равнодействующая.
При равномерном движении по окружности тело за равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния, поэтому модуль скорости постоянен. Однако касательная к окружности в каждой точке направлена по-разному, значит, меняется и направление скорости. Так как p = mv, при постоянной массе поворот скорости означает поворот импульса.
Чтобы найти изменение импульса, начальный и конечный векторы переносят так, чтобы их начала совпали. Их длины одинаковы и равны p, потому что модуль скорости не изменился. Вектор от конца начального импульса к концу конечного и есть Δp: он показывает, насколько и куда изменился импульс.
Векторы p₁, p₂ и Δp образуют треугольник, где две стороны имеют длину p, а угол между импульсами равен α. Если мысленно провести высоту к основанию этого равнобедренного треугольника, половина основания будет равна p·sin(α/2). Поэтому полная длина основания, то есть модуль изменения импульса, равна |Δp| = 2p·sin(α/2).
За малое время направление скорости успевает измениться на небольшой угол, и вектор Δp почти совпадает по направлению с радиусом к центру. Причина в том, что хорда, соединяющая близкие положения на окружности, при уменьшении её длины всё точнее ориентируется к центру. Поэтому средняя сила, вызывающая такое изменение импульса, также направлена примерно к центру.
Сила связана с изменением импульса отношением F = Δp/Δt. При уменьшении промежутка времени средняя сила стремится к мгновенной центростремительной силе, а отношение изменения скорости ко времени — к ускорению. Геометрия малой дуги даёт aц = v²/R, поэтому Fц = maц = mv²/R.
| Угол между начальным и конечным импульсом | Модуль изменения импульса | Направление изменения импульса | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| α = 0° | |Δp| = 0 | Направление отсутствует | Импульс не изменился |
| α = 90° | |Δp| = p√2 | По биссектрисе между конечным и противоположным начальным импульсом | Импульс изменился из-за поворота на прямой угол |
| α = 180° | |Δp| = 2p | По направлению от начального импульса к конечному | Максимальное изменение при неизменном модуле |
| Произвольный угол α | |Δp| = 2p·sin(α/2) | Определяется векторной разностью импульсов | Величина зависит от угла поворота |
| Малый поворот за время Δt | |Δp|/Δt связано с силой и ускорением | Приблизительно к центру окружности | Возникают центростремительные сила и ускорение |
Сначала определите угол между начальным и конечным импульсами, затем используйте соответствующую строку. Для произвольного угла подставляют его в формулу, а направление находят только с помощью векторного построения. Последняя строка связывает геометрическое изменение импульса с динамикой движения.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с, а направление скорости изменилось на 60°. Требуется найти модуль изменения импульса. Модуль скорости не меняется, поэтому можно применить формулу для поворота импульса.
Ответ: модуль изменения импульса равен 6 кг·м/с.
Автомобиль массой 1000 кг движется по окружности радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Нужно найти ускорение и силу, изменяющую импульс. Центростремительная сила является равнодействующей, направленной к центру поворота.
Ответ: aц = 2 м/с², Fц = 2000 Н.
Шарик массой 0,5 кг движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с и поворачивается на 90°. Требуется найти изменение импульса и среднюю силу за этот поворот. Сначала определим импульс и изменение его направления, затем найдём время движения по дуге.
Ответ: |Δp| = 2√2 кг·м/с, Fср ≈ 3,6 Н.
Считать, что при постоянной скорости импульс не меняется, ошибочно, потому что скорость — вектор. Проверяйте не только её модуль, но и направление: на окружности оно меняется.
Вычитать модули начального и конечного импульсов нельзя, если их направления различаются. Постройте оба вектора из общего начала и найдите третью сторону треугольника.
Направлять изменение импульса по касательной — значит путать направление движения с направлением его изменения. При малом повороте Δp направлен к центру, поскольку именно туда «поворачивается» скорость.
Формула |Δp| = pα является приближённой и работает только при малом α в радианах. Для любого угла используйте точную формулу 2p·sin(α/2), а единицы угла проверяйте заранее.
Перед изучением темы нужны определение импульса, правила сложения и вычитания векторов, равномерное движение по окружности и связь скорости с угловым перемещением. Эти знания позволяют перейти от геометрии векторов к формулам движения.
Тема нужна для вывода центростремительного ускорения и силы, а также для применения второго закона Ньютона к движению по окружности. Связь изменения импульса с силой помогает анализировать повороты транспорта, вращение спутников и движение заряженных частиц в магнитном поле.
Почему импульс изменяется, если скорость по модулю постоянна?
Импульс является вектором и определяется не только модулем скорости, но и её направлением. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, поэтому меняется и импульс.
Как правильно определить направление изменения импульса?
Нужно выполнить векторное вычитание: Δp = p₂ − p₁. Для небольшого поворота при движении по окружности вектор изменения импульса направлен к центру окружности.
Почему нельзя найти изменение импульса простым вычитанием его модулей?
Начальный и конечный импульсы имеют не только величину, но и направление. Поэтому нужно вычитать векторы, учитывая угол между ними, а не просто находить разность числовых значений.
Откуда берётся формула |Δp| = 2p·sin(α/2)?
Начальный и конечный импульсы имеют одинаковую длину p и образуют угол α. В треугольнике, построенном по этим векторам и их разности, применение геометрии даёт |Δp| = 2p·sin(α/2).
Как изменение импульса связано с центростремительной силой?
Сила равна отношению изменения импульса к промежутку времени: F = Δp/Δt. При уменьшении промежутка времени эта сила становится центростремительной, поэтому Fц = mv²/R.
4. Изменение импульса при движении по окружности
