"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Импульс показывает, насколько велико и в каком направлении движение тела: он равен произведению массы на скорость. Сила тяжести изменяет скорость, поэтому меняется и импульс. За время t свободного движения изменение импульса равно mgt и направлено вниз. Эта связь помогает находить импульс тела при броске и падении, даже если траектория не вертикальна: достаточно отдельно рассмотреть горизонтальное и вертикальное направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости, а единица измерения — кг·м/с. Импульс нужен, чтобы описывать движение с учётом и массы, и скорости: одинаковая скорость у тяжёлого и лёгкого тела означает разные импульсы.
Изменение импульса — векторная разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния тела. Эта формула важна потому, что показывает не просто величину нового импульса, а то, как он изменился и в какую сторону.
Импульс силы — произведение силы на время её действия; для постоянной силы I = FΔt. Здесь Δt — промежуток, в течение которого сила действовала. Импульс силы позволяет связать действие силы за время с изменением движения тела.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; у поверхности Земли Fтяж = mg, где g — ускорение свободного падения. Сила направлена вертикально вниз, к центру Земли. Зная её, можно определить, как меняется импульс тела при свободном падении или броске, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Сила изменяет скорость тела: под её действием тело может разгоняться, замедляться или менять направление движения. Импульс зависит от скорости, поэтому при неизменной массе изменение скорости означает изменение импульса. Чем больше масса или скорость её изменения, тем заметнее изменение импульса.
Второй закон Ньютона записывают как F = ma. Если масса постоянна, а сила постоянна, то за время Δt скорость изменится на Δv = aΔt. Умножим это равенство на массу: mΔv = maΔt, а поскольку ma = F и mΔv = Δp, получаем Δp = FΔt. Значит, изменение импульса равно импульсу постоянной результирующей силы; для меняющейся силы связь рассматривают с учётом её действия в течение всего времени.
При движении только под действием силы тяжести результирующая сила равна mg и направлена вниз. Поэтому за время t изменение импульса составляет Δp = Fтяжt, а его модуль равен mgt. Это верно и при движении вверх: сила тяжести не меняет направление вместе с движением тела, а всё время тянет его вниз.
Чтобы найти импульс при броске вверх или падении вниз, сначала задают направление оси и записывают начальный импульс, затем прибавляют его изменение: p₂ = p₁ + Δp. При выборе оси вверх изменение вертикального импульса за время t равно −mgt; при выборе оси вниз — +mgt. Для наклонной траектории векторы удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: начальный импульс направлен по скорости, а его изменение — вертикально вниз.
Если сопротивления воздуха нет, на тело по горизонтали не действует сила, поэтому горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной. Следовательно, не меняется и горизонтальная составляющая импульса: pₓ = mvₓ. По вертикали действует сила тяжести, поэтому вертикальная скорость и составляющая импульса меняются равномерно: за равные промежутки времени вертикальный импульс изменяется на равные величины. В результате тело может двигаться по кривой, хотя изменение его импульса за всё время полёта направлено строго вниз.
| Рассматриваемая величина | Формула | Направление | От чего зависит |
|---|---|---|---|
| Начальный импульс | p₁ = mv₁ | По начальной скорости | От массы и начальной скорости |
| Конечный импульс | p₂ = p₁ + Δp | По конечной скорости | От начального импульса и изменения |
| Изменение импульса | Δp = p₂ − p₁ | В сторону результирующей силы | От силы и времени её действия |
| Импульс силы тяжести | Iтяж = Fтяжt = mgt | Вертикально вниз | От массы, g и времени |
| Горизонтальная составляющая импульса | pₓ = mvₓ = const | По горизонтали | От массы и горизонтальной скорости |
| Вертикальная составляющая импульса | pᵧ = mvᵧ; Δpᵧ = −mgt при оси вверх | Вдоль вертикальной оси | От массы, вертикальной скорости и времени |
Пользуйся таблицей после того, как выберешь оси и определишь начальную скорость: так легче не перепутать знак вертикальной составляющей. Сначала находи изменение импульса по силе и времени, а затем складывай его с начальным импульсом, чтобы получить конечный. Формулы для составляющих помогают работать с движением под углом, не смешивая горизонтальное и вертикальное направления.
Мяч массой 0,5 кг свободно падает 2 с; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Нужно определить изменение импульса, а не сам конечный импульс, поэтому используем связь изменения импульса с импульсом силы тяжести. Выберем направление вниз за положительное. Для расчёта возьмём g = 9,8 м/с².
Ответ: изменение импульса равно 9,8 кг·м/с вертикально вниз. Знак при выборе оси вверх был бы отрицательным, но физическое направление осталось бы тем же. Начальная скорость мяча для вычисления изменения импульса не нужна: его определяют по силе тяжести и времени.
Тело массой 2 кг бросили вверх со скоростью 10 м/с. Требуется найти изменение импульса через 1 с после броска, а не конечный импульс. Направим ось вверх: тогда сила тяжести имеет отрицательную проекцию. Такой выбор сразу показывает, почему импульс уменьшается во время подъёма.
Ответ: изменение импульса равно 19,6 кг·м/с вниз, или −19,6 кг·м/с в выбранной оси. Конечный импульс ещё направлен вверх, но стал намного меньше начального. Здесь особенно важно не принимать направление движения за направление изменения импульса.
Камень массой 1 кг бросили горизонтально со скоростью 8 м/с с высоты, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Числовая высота не задана, поэтому время падения нельзя получить числом; обозначим его t. Выберем ось x горизонтально по броску, а ось y вертикально вверх. Это позволяет отдельно проследить, что происходит с каждой составляющей импульса.
Ответ: изменение импульса направлено вниз и равно по модулю 9,8t кг·м/с; конечный импульс имеет составляющие 8 кг·м/с по горизонтали и −9,8t кг·м/с по вертикали. Без высоты или времени падения численные значения этих результатов определить нельзя. При этом горизонтальная составляющая конечного импульса остаётся равной начальной.
Подменять изменение импульса конечным импульсом — это значит забывать вычесть начальное значение. Ошибка часто возникает, когда в задаче слово «изменение» воспринимают как просьбу найти импульс в конце движения. Проверь себя: запиши Δp = p₂ − p₁ и убедись, что учтены оба состояния.
Складывать модули импульсов, не учитывая их направления, нельзя: импульс и его изменение — векторы. Так ошибаются, когда тело движется в одну сторону, а сила действует в другую. Поставь ось и знаки компонент; проверь результат сложением p₂ = p₁ + Δp.
Формулу Δp = mgt нельзя применять автоматически, если есть сопротивление воздуха или другие силы. Её используют, когда сила тяжести — единственная результирующая сила; иначе изменение определяет равнодействующая. Перед расчётом перечисли силы и проверь, можно ли пренебречь остальными.
Импульс тела и импульс силы имеют разные смыслы, хотя их единицы измерения совпадают. Первый описывает состояние движения и равен mv, второй характеризует действие силы за время и равен FΔt. Для самопроверки спроси себя, что дано: масса со скоростью или сила с временем действия.
Для этой темы нужны формула импульса тела, второй закон Ньютона, сила тяжести, ускорение свободного падения и правила сложения векторов. Связь изменения импульса с действием силы помогает решать задачи о движении в поле тяжести, ударах и реактивном движении, а также применять закон сохранения импульса. Тема подготавливает к изучению самого закона сохранения импульса и движения тел под действием нескольких сил: в таких задачах нужно учитывать результирующую всех сил.
Почему при броске тела вверх его импульс уменьшается, хотя тело продолжает двигаться?
Скорость тела направлена вверх, а сила тяжести — вниз, поэтому скорость вверх становится меньше. Так как импульс равен произведению массы на скорость, его модуль тоже уменьшается, пока тело поднимается.
Почему изменение импульса направлено вниз, если тело в данный момент движется вверх?
Направление изменения импульса задаёт результирующая сила, а не направление движения. При свободном полёте сила тяжести направлена вниз, поэтому за любой промежуток времени изменение импульса направлено вниз.
Можно ли применять формулу Δp = mgt при движении тела по наклонной или криволинейной траектории?
Да, если на тело действует только сила тяжести, сопротивлением воздуха можно пренебречь, а g считать постоянным. Формула задаёт вектор изменения импульса, направленный вертикально вниз, независимо от формы траектории.
Что происходит с горизонтальной составляющей импульса при свободном падении?
Без сопротивления воздуха горизонтальная сила равна нулю, поэтому горизонтальная скорость и горизонтальная составляющая импульса не меняются. Меняется только вертикальная составляющая, поскольку на неё действует сила тяжести.
Чем импульс силы отличается от импульса тела?
Импульс тела равен произведению массы на скорость и описывает движение тела в данный момент. Импульс силы равен произведению силы на время её действия и показывает, на сколько изменился импульс тела.
5. Изменение импульса тела, движущегося под действием силы тяжести
