"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Импульс тела показывает, как движется тело, и зависит от его массы и скорости. Если скорость меняется под действием силы, меняется и импульс. За время действия сила сообщает телу импульс; для постоянной силы он равен произведению силы на время. Главное правило темы — изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех приложенных сил. Это правило помогает разбирать удары и столкновения, в том числе когда тело после удара движется в обратную сторону.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv; единица измерения — кг·м/с. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Эта величина нужна, чтобы описывать движение с учётом и массы, и скорости тела.
Изменение импульса тела — векторная разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Индексы 1 и 2 обозначают состояния тела в начале и в конце рассматриваемого промежутка. Эта разность показывает, насколько изменилось движение, и учитывает не только величину импульса, но и его направление.
Импульс силы характеризует действие силы за промежуток времени. Если сила постоянна, J = FΔt, где F — вектор силы, а Δt — время её действия; единица — Н·с. Импульс силы помогает связать действие силы с тем, как изменилось движение тела.
Импульс равнодействующей сил — импульс силы, равной векторной сумме всех сил, приложенных к телу. Его обозначают так же, как импульс силы: J₍р₎ = F₍р₎Δt, если равнодействующая постоянна. Это понятие позволяет заменить несколько одновременных воздействий их общим результатом.
Импульс зависит от скорости, потому что скорость задаёт и быстроту, и направление движения. Если масса тела постоянна, изменение скорости неизбежно меняет произведение mv, то есть импульс. Векторная запись нужна потому, что два тела с одинаковыми массой и модулем скорости, но движущиеся в разные стороны, имеют разные импульсы.
Второй закон Ньютона связывает ускорение с действующей силой: F = ma. При постоянной массе ускорение можно выразить через изменение скорости за время: a = (v₂ − v₁) / Δt. Подставляя это в закон Ньютона и умножая обе части на Δt, получаем FΔt = m(v₂ − v₁) = p₂ − p₁. Значит, сила изменяет импульс, а при постоянной силе F = Δp / Δt.
Если сила постоянна, за каждую секунду она действует одинаково, поэтому её общий эффект за время Δt равен произведению FΔt. Когда сила меняется, за разные части промежутка она сообщает разные импульсы: даже одинаковые по длительности интервалы могут дать неодинаковый вклад. Тогда нужно учитывать силу на каждом малом интервале и складывать векторные вклады; если известна средняя сила, её импульс за весь промежуток даёт тот же итог.
На тело могут одновременно действовать несколько сил, например сила тяжести и сила со стороны опоры. Их вклады нельзя складывать только по величинам: противоположно направленные силы частично или полностью компенсируют друг друга. Векторная сумма сил называется равнодействующей, и именно она определяет общее изменение импульса. Поэтому импульсы сил за один и тот же промежуток также складываются векторно и в сумме равны импульсу равнодействующей.
В задаче сначала полезно выбрать ось, а затем записать начальную и конечную скорости с учётом направлений. Вдоль оси проекция скорости или силы положительна, против оси — отрицательна, поэтому уравнение принимает вид m(v₂ − v₁) = F₍р₎Δt. Получив отрицательное значение проекции, не нужно менять его знак: оно указывает, что соответствующий вектор направлен против выбранной оси. Такой способ особенно важен при развороте тела, когда конечный импульс направлен обратно начальному.
| Величина | Обозначение | Векторная формула | Единица измерения | Связь с изменением импульса |
|---|---|---|---|---|
| Импульс тела | p | p = mv | кг·м/с | Определяет начальный или конечный импульс |
| Изменение импульса тела | Δp | Δp = p₂ − p₁ | кг·м/с | Результат действия сил |
| Импульс постоянной силы | J | J = FΔt | Н·с | Равен изменению импульса при действии этой силы |
| Импульс равнодействующей сил | J₍р₎ | J₍р₎ = F₍р₎Δt | Н·с | Равен общему изменению импульса |
| Теорема об изменении импульса | — | Δp = J₍р₎ | кг·м/с = Н·с | Изменение импульса равно импульсу равнодействующей |
Сначала определите, какая величина дана и какую нужно найти: состояние движения описывает p, а воздействие силы — J. Затем используйте теорему Δp = J₍р₎ и проверьте, совпадают ли единицы: Н·с и кг·м/с равны. В задачах с направлением удобнее записывать формулы для проекций на выбранную ось.
Мяч массой 0,2 кг движется со скоростью 5 м/с. Нужно найти его импульс и указать направление. Масса и скорость заданы, поэтому применяем определение p = mv. Направление ответа определяем по направлению движения мяча.
Ответ: p = 1 кг·м/с, вектор импульса направлен так же, как скорость мяча. Здесь положительное направление выбирать необязательно, поскольку требуется только указать направление вектора. Если бы скорость была задана относительно оси, для проекции импульса следовало бы учесть её знак.
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 2 м/с, а постоянная сила 10 Н действует 3 с в направлении движения. Требуется найти изменение скорости. Здесь важны не только величины, но и то, что сила направлена вдоль скорости: импульс силы увеличивает импульс тележки. Используем теорему об изменении импульса в проекции на направление движения.
Ответ: изменение скорости равно 15 м/с, конечная скорость — 17 м/с в прежнем направлении. Проверка по единицам даёт (Н·с)/кг = м/с, как и должно быть для изменения скорости. Поскольку сила и начальная скорость направлены одинаково, скорость возрастает.
Мяч массой 0,15 кг летит к стене со скоростью 20 м/с, а после удара отскакивает со скоростью 12 м/с. Чтобы найти импульс силы, нужно вычислить изменение импульса, а не сравнивать только модули скоростей. Выберем положительное направление по направлению движения мяча до удара: после отскока скорость будет отрицательной.
Ответ: импульс силы равен −4,8 кг·м/с в выбранной оси, или 4,8 Н·с и направлен от стены. Знак показывает направление, а не ошибку вычислений. При выборе противоположной оси проекция была бы положительной, но физическое направление импульса осталось бы тем же.
Ошибка — складывать модули импульсов или сил, не учитывая их направления. Её допускают, когда воспринимают векторные величины как обычные числа. Для проверки нарисуйте направления стрелками или выберите ось и запишите проекции со знаками. Если два вектора направлены противоположно, их проекции имеют разные знаки.
Ошибка — находить изменение импульса как разность модулей при развороте тела. Так поступают, когда забывают, что Δp = p₂ − p₁ — векторная разность, а конечный импульс может быть направлен противоположно начальному. Выберите ось и подставьте проекции: при отскоке одна из скоростей будет отрицательной. Проверьте, согласуется ли направление результата с тем, что тело изменило движение на обратное.
Формулу J = FΔt нельзя применять к переменной силе так, будто F не меняется. Ошибка возникает из-за того, что формула для постоянной силы запоминается без условия её применимости. Уточните, задана ли сила постоянной или дана её средняя величина за весь промежуток. Если нет, нужно учитывать меняющуюся силу на малых интервалах времени.
Импульс тела иногда путают с импульсом силы, хотя это разные величины. Первый зависит от массы и скорости, второй — от силы и времени её действия; путаница приводит к выбору неподходящей формулы. Проверьте, что именно дано в условии, и проследите за единицами: кг·м/с соответствует импульсу тела, Н·с — импульсу силы. Эти единицы равны, потому что величины связаны теоремой, но описывают разные стороны движения.
Для работы с импульсом нужны навыки векторной записи скорости и силы, знание второго закона Ньютона и правил выбора положительного направления. Без них трудно правильно записать изменение импульса и знаки проекций. Теорема особенно полезна в задачах об ударах, столкновениях, отдаче и кратковременном действии больших сил. Далее она станет основой для изучения закона сохранения импульса и реактивного движения.
Чем импульс тела отличается от импульса силы?
Импульс тела равен произведению массы на скорость: p = mv, поэтому он описывает движение тела. Импульс силы характеризует действие силы за время: при постоянной силе J = FΔt. Эти величины связаны теоремой: импульс силы равен изменению импульса тела.
Почему при ударе, после которого тело отскакивает назад, импульс силы не равен просто разности модулей скоростей?
При отскоке скорость меняет направление, поэтому конечный импульс направлен противоположно начальному. Изменение импульса считают как векторную разность p₂ − p₁, а не как разность модулей. Если выбрать направление начального движения за положительное, скорость после отскока записывают со знаком минус.
Можно ли применять формулу J = FΔt, если сила изменяется со временем?
Напрямую — только если F постоянна на всём промежутке. Для переменной силы учитывают её действие на малых интервалах времени и складывают соответствующие импульсы. Можно также использовать среднюю силу за промежуток, если известен её импульс.
Почему в теореме используется равнодействующая, а не одна из действующих сил?
Каждая сила вносит свой вклад в изменение импульса, причём вклады складываются векторно. Их суммарное действие равносильно действию одной силы — равнодействующей. Поэтому именно её импульс определяет общее изменение импульса тела.
Как выбрать положительное направление при решении задачи на изменение импульса?
Выберите ось так, чтобы направление было удобно для вычислений, например вдоль начальной скорости или силы. Векторы вдоль выбранного направления имеют положительные проекции, противоположные ему — отрицательные. Выбор можно сделать любым, если последовательно соблюдать знаки.
6. Изменение импульса тела и импульс равнодействующей приложенных к телу сил
