5. Более сложные задачи о средней скорости

Определения и обозначения

Средняя скорость движения — отношение всего пройденного пути к общему времени движения: vср = Sобщ/tобщ. Она показывает результат движения по всему маршруту, поэтому не обязана быть средним арифметическим скоростей отдельных участков. Простое усреднение допустимо только в особом случае — при равных временах.

Путь на участке — длина траектории, пройденная за выбранную часть движения. Пути отдельных этапов обозначают, например, s₁ и s₂, а весь путь находят их сложением. Это нужно, чтобы не смешивать расстояния, пройденные на разных этапах.

Время движения на участке — продолжительность движения на отдельной части маршрута. Его обозначают, например, t₁ и t₂. Знание времени позволяет определить, какой вклад каждый этап вносит в общее движение.

Общий путь и общее время — суммы путей и времён всех участков: Sобщ = s₁ + s₂ + …, tобщ = t₁ + t₂ + …. Именно эти две величины подставляют в формулу средней скорости. Если в общий промежуток входят остановки, их время также добавляют.

Как это устроено

Среднюю скорость находят по всему маршруту, потому что она должна описывать движение целиком. Сначала складывают пути на всех участках, затем складывают соответствующие времена и делят первую сумму на вторую. Остановка увеличивает общее время, но не увеличивает путь, поэтому её нужно учитывать в расчёте, если она входит в условие.

Когда известны скорости и времена, путь каждого этапа находят по формуле s = vt. Это позволяет заменить неизвестные расстояния произведениями скорости на время. После этого все полученные пути складывают и делят на сумму времён, а не на количество участков.

Если участки имеют одинаковую длину, сначала определяют время прохождения каждого из них по формуле t = s/v. При меньшей скорости одно и то же расстояние проходится дольше, поэтому медленный участок сильнее влияет на результат. Именно разное время делает простое арифметическое усреднение неверным.

При равных временах на участках средняя скорость равна среднему арифметическому: vср = (v₁ + v₂)/2 для двух этапов. Это получается потому, что каждый путь вычисляется умножением скорости на одинаковое время. При равных путях времена обычно различны, поэтому такой способ уже не сохраняет правильный вес каждой скорости.

В задачах с несколькими этапами данные сначала приводят к общей величине — пути или времени. Если заданы скорости и времена, находят пути; если заданы скорости и пути, находят времена. Только после этого используют единое определение vср = Sобщ/tобщ.

Как находить среднюю скорость в разных условиях

В таблице сначала указано, какие данные известны, затем — какую величину нужно определить на каждом участке. После этого выбирают отношение общего пути к общему времени. Все пути, времена и скорости перед вычислением следует выразить в согласованных единицах.

Разбор задач

Задача 1. Пешеход прошёл 2 км за 30 мин и ещё 3 км за 1 ч. Найдём среднюю скорость за весь путь. Переведём минуты в часы, чтобы единицы времени совпадали со скоростью в километрах в час.

1. 30 мин = 0,5 ч, поэтому общий путь равен Sобщ = 2 + 3 = 5 км.
2. Общее время: tобщ = 0,5 + 1 = 1,5 ч.
3. Средняя скорость: vср = 5/1,5 ≈ 3,3 км/ч.

Ответ: средняя скорость пешехода примерно 3,3 км/ч. Мы разделили весь путь на всё время, а не усредняли скорости отдельных этапов.

Задача 2. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч, а затем 1 ч со скоростью 90 км/ч. Здесь времена уже заданы в одинаковых единицах, поэтому сначала найдём расстояния. Затем сравним общий путь с общей продолжительностью поездки.

1. Первый путь: s₁ = 60 · 2 = 120 км, второй путь: s₂ = 90 · 1 = 90 км.
2. Общий путь Sобщ = 120 + 90 = 210 км, общее время tобщ = 2 + 1 = 3 ч.
3. vср = 210/3 = 70 км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 70 км/ч. Среднее арифметическое 60 и 90 тоже дало бы 75 км/ч, но оно здесь неверно, потому что времена движения различны.

Задача 3. Велосипедист проехал первую половину маршрута со скоростью 12 км/ч, а вторую — со скоростью 20 км/ч. Обозначим длину каждой половины через s, тогда весь путь равен 2s. Одинаковые расстояния нужно связать с разными временами.

1. Время первой половины: t₁ = s/12, второй: t₂ = s/20.
2. Общее время: tобщ = s/12 + s/20 = 2s/15, а общий путь равен 2s.
3. vср = 2s/(2s/15) = 15 км/ч.

Ответ: средняя скорость велосипедиста равна 15 км/ч. Она меньше арифметического среднего 16 км/ч, потому что медленная половина занимает больше времени.

Типичные ошибки

Первая ошибка — находить среднее арифметическое скоростей при разных временах движения. Так делают, потому что видят несколько значений скорости и автоматически складывают их. Проверьте условие: если длительности этапов не равны, сначала найдите пути и общее время.

Вторая ошибка — арифметически усреднять скорости на равных по длине участках. Такое рассуждение не учитывает, что медленный участок проходится дольше. Для проверки найдите время каждого участка по формуле t = s/v.

Третья ошибка — складывать скорости или делить их сумму на число этапов без вычисления общего пути и времени. Средняя скорость определяется не количеством участков, а результатом всего движения. Запишите перед решением формулу vср = Sобщ/tобщ и заполните обе величины.

Четвёртая ошибка — складывать несогласованные единицы, например километры в час и метры в секунду. Из-за этого формулы дают численно неправильный результат. Перед вычислениями переведите все величины к одной системе единиц.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь пользоваться формулой равномерного движения s = vt и переводить единицы пути, времени и скорости. Без этого нельзя правильно найти путь или время отдельного этапа. Поэтому повторите эти действия перед решением составных задач.

Средняя скорость связана с графиками движения и задачами на движение по участкам. На графике разные этапы могут иметь разные наклоны, то есть разные скорости. Суммирование путей и времён помогает описать весь график одним средним показателем.

Тот же способ используют при изучении движения с переменной скоростью. Отдельные промежутки рассматривают как части общего движения, а затем складывают их вклад. Так формируется переход от простых задач к более сложным моделям движения.

Что запомнить

• Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время.
• Общий путь складывают из путей всех участков.
• Общее время складывают из времён всех участков.
• При равных временах средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей.
• При равных путях среднее арифметическое скоростей обычно не подходит.
• Перед вычислениями проверь единицы измерения.