6. Решение более сложных задач

Определения и обозначения

Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого. При движении навстречу тела сближаются со скоростью v₁ + v₂, а при движении в одном направлении одно тело удаляется от другого со скоростью |v₁ − v₂|. Это понятие помогает быстро находить время встречи или обгона.

Точка встречи — положение, в котором координаты двух движущихся тел совпадают в один и тот же момент. Условие записывают так: x₁(t) = x₂(t). Оно подходит и для встречи, и для обгона, потому что в обоих случаях тела оказываются в одной точке.

Уравнение движения — зависимость координаты тела от времени, например x = x₀ + vt для равномерного движения. По нему можно узнать положение тела в любой момент и сравнить его с положением другого тела. Поэтому для задачи с несколькими телами составляют отдельное уравнение для каждого.

Как это устроено

Сначала выберите тело отсчёта, начало координат и положительное направление оси. Удобно направить ось вдоль движения и принять за начало точку старта одного тела, но можно выбрать и другой вариант. Тогда скорость записывают со знаком: при движении по положительной оси она положительна, а в противоположную сторону — отрицательна. Единый выбор оси позволяет описать всех участников задачи согласованно.

Для каждого тела составляют своё уравнение координаты, потому что тела могут иметь разные начальные положения, скорости и ускорения. В момент встречи или обгона их координаты одинаковы, поэтому уравнения приравнивают. Это надёжнее, чем рассуждать только о путях: координата учитывает и положение, и направление движения. После решения уравнения находят время, а затем подставляют его в любое уравнение для координаты встречи.

Относительную скорость удобно понимать как скорость изменения расстояния между телами. Если они движутся навстречу, расстояние уменьшается сразу за счёт движения обоих, поэтому скорости складываются. Если тела движутся в одном направлении, быстрее догоняет медленное, и расстояние сокращается только на разность скоростей. Знаки в уравнениях координат автоматически приводят к тому же результату.

Если движение меняется, разделите его на участки с разными законами движения. Для каждого участка запишите собственное уравнение, используя координату и время начала этого участка, а не всегда исходные нулевые значения. В момент перехода координата остаётся непрерывной, поэтому новое уравнение должно начинаться из той же точки. Общее время складывается из длительностей участков, что даёт недостающую связь между ними.

В конце проверьте смысл ответа. Время не должно быть отрицательным, единицы всех величин должны совпадать, а направление движения — соответствовать знакам скоростей. Подстановка найденного времени в уравнения должна дать одинаковые координаты. Если тело должно догнать другое, его скорость в выбранном направлении действительно должна обеспечивать сокращение начального разрыва.

Выбор способа решения задач о движении

Сначала определите, к какой ситуации относится задача, а затем выберите строку таблицы. Если в условии есть несколько режимов движения, используйте последнюю строку и записывайте уравнения последовательно. После этого обязательно примените главное условие из третьего столбца.

Разбор задач

Встречное движение

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 12 км. Их скорости равны 5 км/ч и 7 км/ч. Найдём время и место встречи, выбрав начало координат в пункте первого пешехода и положительное направление к другому пункту.

1. Координаты пешеходов имеют вид x₁ = 5t и x₂ = 12 − 7t.
2. При встрече координаты равны: 5t = 12 − 7t, поэтому 12t = 12 и t = 1 ч.
3. Координата встречи x = 5 · 1 = 5 км от первого пункта.

Ответ: пешеходы встретятся через 1 ч на расстоянии 5 км от места старта первого. То же время получается через относительную скорость: 12 : (5 + 7) = 1 ч. Разные пройденные пути при этом равны 5 км и 7 км.

Движение с обгоном

Велосипедист выехал со скоростью 15 км/ч, а через 1 ч вслед за ним отправился автомобиль со скоростью 45 км/ч. Найдём время обгона от момента старта автомобиля и расстояние от общего места старта. К началу движения автомобиля велосипедист уже создал фору 15 · 1 = 15 км.

1. Выберем начало координат в месте старта и отсчитаем время от старта автомобиля.
2. Тогда координаты равны xв = 15 + 15t и xа = 45t.
3. При обгоне 15 + 15t = 45t, откуда 30t = 15 и t = 0,5 ч.
4. Место обгона: x = 45 · 0,5 = 22,5 км.

Ответ: автомобиль обгонит велосипедиста через 0,5 ч после своего старта, на расстоянии 22,5 км. Проверка через относительную скорость даёт тот же результат: 15 : (45 − 15) = 0,5 ч. Начальный разрыв нельзя было считать нулевым, потому что велосипедист начал движение раньше.

Изменение режима движения

Тело стартует из точки x₀ = 0, движется равноускоренно с ускорением 2 м/с² в течение 3 с, а затем ещё 2 с движется равномерно с полученной скоростью. Найдём координату тела через 5 с. Начальная скорость равна нулю, поэтому сначала используем закон равноускоренного движения.

1. На первом участке v₁ = 0 + 2 · 3 = 6 м/с, а x₁ = ½ · 2 · 3² = 9 м.
2. На втором участке ускорение равно нулю, поэтому за 2 с тело проходит путь 6 · 2 = 12 м.
3. Полная координата x = 9 + 12 = 21 м.

Ответ: через 5 с тело окажется в точке x = 21 м. Координата начала второго участка равна 9 м, а скорость — 6 м/с, поэтому переход между формулами выполнен непрерывно. Если забыть прибавить путь первого участка, получится неверный результат.

Типичные ошибки

Скорости берут только положительными. Так поступают, потому что в обычных вычислениях скорость воспринимается как число без направления. Проверьте, совпадает ли направление движения с выбранной положительной осью, и поставьте нужный знак в уравнении координаты.

Скорости складывают или вычитают не по ситуации. Ошибка возникает, когда правило запоминают без анализа направления. Представьте, как меняется расстояние: при движении навстречу оно сокращается за счёт обоих тел, а при движении в одну сторону — только за счёт разности скоростей.

Приравнивают пройденные пути вместо координат. Это может случайно сработать при специально выбранных началах отсчёта, но в общем случае тела стартуют из разных точек. Составьте координаты от одного начала и используйте условие x₁ = x₂.

Не учитывают фору или смену режима. Тогда тело начинают считать находящимся не там, где оно было в нужный момент, или применяют одну формулу ко всему движению. Проверьте начальную координату каждого участка и запишите условия перехода по времени и координате.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны координата, перемещение, скорость, ускорение, а также уравнения равномерного и равноускоренного движения. Без этих понятий трудно правильно задать знаки и выбрать закон движения для каждого участка.

Приёмы пригодятся при чтении графиков координаты и скорости, изучении свободного падения и решении задач на движение нескольких тел. Тот же способ — описать каждый объект отдельно и сравнить их координаты — используется во многих разделах механики.

Что запомнить

• Сначала выбери систему отсчёта и направление оси.
• Для каждого тела составь своё уравнение координаты.
• Встреча и обгон происходят, когда координаты тел равны.
• Для встречного движения относительная скорость равна сумме скоростей.
• Для движения в одном направлении относительная скорость равна разности скоростей.
• При смене режима раздели движение на участки и свяжи их условиями задачи.