"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Движение по вертикали описывает падение и бросок тела вверх, когда его траектория проходит по прямой. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, на тело действует сила тяжести, поэтому ускорение постоянно и направлено вниз. Это позволяет использовать уравнения равноускоренного движения, находить скорость и координату в любой момент, время подъёма и максимальную высоту. Главное — выбрать ось и последовательно учитывать знаки проекций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение по вертикали — движение тела вдоль вертикальной прямой. Чтобы описать его уравнениями, выбирают вертикальную ось и считают проекции скорости и ускорения; при смене направления оси меняются их знаки. Это помогает не путать направление движения с направлением ускорения.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тело может при этом как опускаться, так и подниматься после броска вверх. Понятие позволяет изучать движение без учёта сложного влияния воздуха.
Ускорение свободного падения g — ускорение тела при свободном падении у поверхности Земли. Оно направлено вниз, а его модуль примерно равен 9,8 м/с². Буквой g обозначают положительный модуль ускорения, а знак проекции зависит от выбранной оси.
Время подъёма — промежуток от начала броска вверх до достижения наивысшей точки. В этой точке мгновенная скорость равна нулю, но ускорение остаётся направленным вниз. Время подъёма нужно, чтобы определить, сколько длится восходящая часть движения.
При свободном падении сила тяжести около поверхности Земли практически постоянна, если высота движения мала по сравнению с радиусом Земли. По второму закону Ньютона постоянная сила сообщает телу постоянное ускорение, направленное вниз. Поэтому движение можно описывать формулами равноускоренного движения, а не искать скорость отдельно для каждого мгновения.
Выберем ось y, направленную вверх, и обозначим начальную координату через y₀, а начальную скорость — через v₀. Проекция ускорения на такую ось равна −g, поскольку ускорение направлено противоположно положительному направлению. Подстановка этой проекции в уравнения равноускоренного движения даёт v = v₀ − gt и y = y₀ + v₀t − gt²/2.
При броске вверх начальная скорость положительна, а ускорение имеет отрицательную проекцию. Поэтому за одинаковые промежутки времени скорость уменьшается: сила тяжести каждый раз меняет её в сторону вниз. В наивысшей точке скорость на мгновение равна нулю, но сила тяжести продолжает действовать, и после этой точки скорость становится направленной вниз.
Время подъёма можно получить из уравнения скорости: в верхней точке полагают v = 0, откуда 0 = v₀ − gt и tпод = v₀/g. Подстановка этого времени в уравнение координаты даёт максимальную высоту над местом броска h = v₀²/(2g). Если тело возвращается на исходный уровень, из уравнения координаты получается два момента: начало движения и возвращение, а полное время равно 2v₀/g.
В задаче сначала удобно выбрать начало отсчёта координаты и положительное направление оси, а затем указать начальные значения и проекции ускорения. После записи уравнений проверяют, что координата нужной точки соответствует выбранной системе, а знаки скорости и ускорения — их направлениям. Если уравнение времени имеет два корня, нужно соотнести каждый с началом отсчёта и условиями задачи, а не отбрасывать его только из-за знака.
| Ситуация или величина | Формула | Направление или условие |
|---|---|---|
| Ускорение свободного падения | |g| ≈ 9,8 м/с² | Направлено вниз |
| Скорость при оси, направленной вверх | v = v₀ − gt | Проекция ускорения равна −g |
| Координата при оси, направленной вверх | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | y₀ и v₀ — начальные координата и скорость |
| Время подъёма при броске вверх | tпод = v₀/g | В наивысшей точке v = 0 |
| Максимальная высота над точкой броска | h = v₀²/(2g) | Сопротивлением воздуха пренебрегают |
| Время возвращения на исходный уровень | t = 2v₀/g | Бросок вверх, возвращение на тот же уровень |
Сначала проверьте, что ось направлена вверх: именно для неё записаны уравнения скорости и координаты в таблице. Для другого направления оси знаки проекций нужно изменить. Формулы времени подъёма и возвращения подходят для движения без сопротивления воздуха; возвращение должно происходить на высоту броска.
Камень начинает падать без начальной скорости, а высота падения равна 20 м. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, значит ускорение постоянно. Направим ось вниз: тогда перемещение и ускорение положительны, и знаки в расчёте будут простыми.
Ответ: примерно 2,0 с; 19,8 м/с вниз. Направление скорости указываем отдельно, потому что ось выбрана вниз, а сама скорость перед ударом направлена к земле.
Нужно найти время подъёма и высоту над точкой броска. Выберем ось вверх и примем точку броска за начало координат, поэтому y₀ = 0. На вершине траектории скорость равна нулю, и это условие позволяет найти время, не зная высоты заранее.
Ответ: время подъёма примерно 1,53 с, максимальная высота над точкой броска — около 11,5 м. Проверка по формуле h = v₀²/(2g) даёт тот же результат, поэтому вычисление согласуется с уравнениями движения.
Тело брошено вверх со скоростью 20 м/с с высоты 10 м над землёй. Возьмём начало координат на земле и направим ось вверх: y₀ = 10 м, а координата земли равна нулю. Уравнение координаты даст моменты, когда тело находится на земле, после чего выберем время после броска.
Ответ: тело достигает земли примерно через 4,52 с; скорость около 24,3 м/с направлена вниз. Отрицательный знак проекции показывает направление относительно выбранной оси, а не ошибку в расчёте.
Считать ускорение при движении вверх направленным вверх — значит смешивать направление скорости с причиной её изменения. Эту ошибку допускают, потому что тело в начале движется вверх. Проверьте себя: сила тяжести всё время направлена вниз, значит, вниз направлено и ускорение.
Ещё одна ошибка — считать g отрицательным числом при оси вверх. Сам модуль g положителен, а отрицательной является его проекция: ay = −g. Перед подстановкой запишите отдельно направление оси и проекцию ускорения; это покажет, не учтён ли минус дважды.
Нельзя полагать скорость равной нулю на всём участке после броска вверх. Она равна нулю только в верхней точке, затем направлена вниз и по модулю возрастает. Проверьте расчёт уравнением v = v₀ − gt: после времени подъёма значение v должно стать отрицательным при оси вверх.
Отрицательный корень уравнения времени не всегда можно отбросить без объяснения. Он может означать момент до принятого начала отсчёта или соответствовать иной ситуации, поэтому сначала выясните физический смысл корня. Сверьте его с условием задачи: требуется ли время после броска и какой момент соответствует нужному положению тела.
Для решения задач на движение по вертикали нужны уравнения равноускоренного движения, умение находить координату и проекции скорости и ускорения. Также важно уметь выбирать начало отсчёта и направление оси: от этого зависит знак каждой проекции, но не физическое движение тела. Эти навыки используются и в задачах о движении под действием других постоянных ускорений.
Тема помогает изучать движение тел под действием силы тяжести, в том числе полёт тела, брошенного под углом к горизонту. Вертикальная составляющая такого движения описывается теми же уравнениями, а горизонтальная рассматривается отдельно. Кроме того, связь высоты и скорости можно исследовать с помощью закона сохранения механической энергии.
Почему ускорение свободного падения направлено вниз даже во время подъёма тела?
Ускорение определяется действующей на тело силой тяжести, а она направлена к Земле. Поэтому при подъёме скорость направлена вверх, а ускорение — вниз: тело замедляется.
Что происходит со скоростью тела в наивысшей точке?
В самой верхней точке мгновенная скорость равна нулю: тело на мгновение перестаёт подниматься. Ускорение при этом остаётся направленным вниз и равным по модулю g, поэтому затем тело начинает падать.
Можно ли считать тело свободно падающим, если оно брошено вверх?
Да, если после броска на него действует только сила тяжести и сопротивлением воздуха можно пренебречь. Свободное падение включает и подъём, и последующее падение.
Как выбрать направление оси, чтобы не ошибиться со знаками?
Выберите удобное начало координат и явно укажите, куда направлена положительная ось. Затем проецируйте на неё скорость, ускорение и координату: при оси вверх ускорение равно −g, а при оси вниз — +g.
Когда время падения равно времени подъёма?
При броске вверх и возвращении на тот же уровень время падения равно времени подъёма, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это следует из симметрии движения: скорость при возвращении по модулю равна начальной.
2. Движение по вертикали
