"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Движение по вертикали — это движение тела вверх или вниз под действием силы тяжести. Если пренебречь сопротивлением воздуха, оно описывается уравнениями равноускоренного движения с ускорением g, направленным вниз. Эти уравнения помогают находить координату, скорость и время падения или подъёма. Главное при решении задач — выбрать ось и согласованно учитывать знаки скорости и ускорения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. В такой модели сопротивлением воздуха пренебрегают: его влияние мало по сравнению с действием тяжести или специально исключено условием задачи. Это упрощение позволяет описывать движение одним постоянным ускорением.
Ускорение свободного падения обозначают g; это ускорение тела при свободном падении. Оно направлено вертикально вниз и у поверхности Земли приблизительно равно 9,8 м/с². Значение g нужно подставлять в уравнения движения, чтобы вычислить скорость и перемещение.
Движение тела, брошенного вертикально вверх, начинается с направленной вверх скорости, но ускорение свободного падения направлено вниз. Поэтому тело замедляется на подъёме, а затем опускается. Такое описание помогает связать движение вверх и последующее падение одними уравнениями.
Движение тела, брошенного вертикально вниз, начинается со скорости, направленной вниз, как и ускорение свободного падения. Поэтому модуль скорости увеличивается. Отличие от падения из покоя состоит в наличии начальной скорости, которую нельзя опускать в расчётах.
Сначала выбирают вертикальную ось и задают её положительное направление, потому что координаты, скорость и ускорение записываются как проекции на эту ось. Если ось направлена вверх, тяжесть действует против положительного направления, поэтому a = −g. Если ось направлена вниз, ускорение совпадает с положительным направлением и a = +g. Знак показывает направление проекции, а не то, «хорошее» или «плохое» ускорение.
Уравнения вертикального движения получают из общих формул равноускоренного движения: y = y₀ + v₀t + at²/2 и v = v₀ + at. В них подставляют выбранную проекцию ускорения, начальную координату и начальную скорость. Это важно, потому что формула одна и та же для разных бросков, а отличаются знаки и начальные условия. Перед вычислениями полезно проверить, что единицы согласованы: расстояния в метрах, время в секундах, скорость в м/с.
При броске вверх, если ось направлена вверх, начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно. Скорость уменьшается, поскольку ускорение направлено против движения; в наивысшей точке вертикальная скорость равна нулю. После этого тело меняет направление движения и падает, но ускорение не меняет направления: сила тяжести действует всё время. Условие v = 0 помогает найти момент достижения вершины.
При броске вниз начальная скорость направлена вниз. Если ось выбрана вниз, и скорость, и ускорение имеют положительные проекции, поэтому скорость растёт с течением времени. При оси вверх обе проекции будут отрицательными, однако модуль скорости всё равно увеличивается. Значит, о разгоне судят по направлению ускорения относительно скорости, а не только по знаку числа.
Без сопротивления воздуха движение симметрично относительно наивысшей точки: при подъёме тело теряет скорость с тем же ускорением, с каким при падении набирает её. Поэтому время подъёма до вершины равно времени падения с неё на прежний уровень. Это следует из уравнения скорости v = v₀ − gt и одинакового изменения скорости по модулю на каждом участке. Равенство относится именно к возвращению на начальную высоту, а не к падению на произвольный уровень.
| Свойство | Свободное падение из покоя | Бросок вертикально вверх | Бросок вертикально вниз |
|---|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ = 0 | Направлена вверх | Направлена вниз |
| Направление ускорения | Вниз | Вниз | Вниз |
| Знак ускорения при оси вверх | −g | −g | −g |
| Как меняется модуль скорости | Увеличивается | Сначала уменьшается, затем увеличивается | Увеличивается |
| Скорость в наивысшей точке | Не применимо | Равна нулю | Не применимо |
| Уравнение координаты при оси вверх | y = y₀ − gt²/2 | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | y = y₀ + v₀t − gt²/2 |
Сначала найди в таблице тип движения и выбери соответствующую начальную скорость: у свободного падения из покоя она равна нулю. Затем проверь направление оси и знак ускорения; уравнение координаты сразу показывает, какие данные подставлять. Для бросков вверх и вниз при оси вверх формула координаты одна, но знак начальной скорости различается.
Камень отпускают без начальной скорости с высоты 20 м. Нужно найти время падения и скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебречь. Направим ось вниз и примем точку отпускания за начало отсчёта. Тогда ускорение и перемещение до земли положительны, а начальная скорость равна нулю.
Ответ: время падения примерно 2,02 с, скорость перед ударом около 19,8 м/с вниз. Проверка: за две секунды тело с нулевой начальной скоростью проходит около 19,6 м, что близко к заданным 20 м. Небольшое отличие связано с округлением.
Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Требуется определить время подъёма и максимальную высоту относительно точки броска. Направим ось вверх, положим y₀ = 0 и возьмём g = 9,8 м/с². На вершине скорость становится нулевой, поэтому сначала удобно найти время именно из уравнения скорости.
Ответ: подъём длится примерно 1,53 с, максимальная высота составляет около 11,5 м. Скорость в верхней точке равна нулю, но это не означает остановку действия силы тяжести. Если принять g = 10 м/с², округлённые ответы будут 1,5 с и 11,25 м.
Тело бросили вверх с высоты 25 м над землёй со скоростью 10 м/с. Нужно найти время до падения на землю и скорость перед ударом. Выберем ось вверх, а землю примем за нулевой уровень: начальная координата y₀ = 25 м, v₀ = 10 м/с и a = −g. Такое начало отсчёта позволяет записать условие удара как y = 0.
Ответ: тело достигнет земли примерно через 3,49 с, скорость перед ударом будет около 24,2 м/с вниз. Проверка знака важна: тело уже прошло наивысшую точку и падает, значит скорость должна быть отрицательной для оси вверх. Если округлить g до 10 м/с², время получится около 3,45 с, а скорость — около 24,5 м/с.
Ошибочно считать, что в наивысшей точке ускорение равно нулю. Так думают, потому что тело на мгновение перестаёт подниматься, но в этот момент нулевой является только скорость: сила тяжести продолжает действовать. Проверь себя, отдельно записав v = 0 и a = −g для оси вверх.
При оси, направленной вверх, иногда записывают ускорение как +g. Ошибка возникает, если знак выбирают по названию величины, а не по её направлению относительно оси; тяжесть направлена вниз, значит проекция равна −g. Для проверки нарисуй стрелку оси и стрелку ускорения: если они противоположны, знак отрицательный.
Нельзя путать знак скорости со знаком ускорения. Во время подъёма скорость направлена вверх, а ускорение — вниз, поэтому при оси вверх скорость положительна, а ускорение отрицательно. Проверяй их направления по отдельности: знак скорости показывает, куда движется тело сейчас, знак ускорения — как меняется скорость.
Формулы свободного падения из покоя нельзя применять к телу с начальной скоростью, не учитывая её. Эту ошибку допускают, когда слово «падение» принимают за указание на v₀ = 0, хотя тело могло быть брошено вниз или вверх. Проверь условие и подставь заданную v₀ в оба уравнения; нулём она становится только при отпускании без толчка.
Для решения задач нужны координата, скорость и ускорение, а также уравнения равноускоренного движения: вертикальное движение является их частным случаем. Модель свободного падения помогает применять законы Ньютона и рассматривать движение тел в поле тяжести, в том числе планет и спутников. В задачах о броске под углом движение раскладывают на горизонтальное и вертикальное: вертикальную часть описывают теми же уравнениями с ускорением g, а горизонтальную анализируют отдельно.
Почему ускорение свободного падения не исчезает в наивысшей точке?
В наивысшей точке на мгновение становится равной нулю только скорость: тело перестаёт подниматься и начинает опускаться. Сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение всё время направлено вниз и у поверхности Земли примерно равно 9,8 м/с².
Как выбрать направление оси, чтобы не запутаться со знаками?
Выбери ось так, чтобы координаты и скорости было удобно записывать, например направь её вверх. Тогда ускорение свободного падения имеет проекцию −g, а скорость брошенного вверх тела сначала положительна. Можно направить ось вниз, но после выбора нужно использовать её последовательно во всех уравнениях.
Всегда ли скорость тела при падении увеличивается?
При падении из состояния покоя или при движении вниз под действием тяжести модуль скорости увеличивается. Но тело, брошенное вверх, сначала движется вниз не сразу: во время подъёма его скорость уменьшается, пока не станет нулевой. После этого тело падает и разгоняется.
Почему в задачах о свободном падении иногда принимают g равным 10 м/с²?
Точное значение ускорения у поверхности Земли близко к 9,8 м/с², но в простых расчётах его округляют до 10 м/с². Так вычисления становятся проще, а результат обычно достаточно точен для школьной задачи. Если условие задаёт значение g, используй именно его.
Как понять, какой из корней уравнения времени соответствует условию задачи?
Время после начала движения не может быть отрицательным, поэтому отрицательный корень обычно отбрасывают. Если остаются два положительных корня, проверь, что каждый означает в ситуации задачи: например, тело может проходить одну высоту на подъёме и на спуске. Выбирай корень, соответствующий описанному событию.
2. Движение по вертикали
