§ 21. Движение по окружности под действием нескольких сил

Определения и обозначения

Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Она обозначается Fрез и определяет ускорение по закону Fрез = ma. Это позволяет заменить несколько сил одной результирующей при анализе движения.

Центростремительное ускорение — составляющая ускорения, направленная к центру окружности. При скорости v и радиусе R её модуль равен aц = v²/R. Эта величина показывает, насколько быстро изменяется направление скорости.

Центростремительная сила — не отдельный вид силы, а радиальная равнодействующая реальных сил, направленная к центру. Её модуль связан с ускорением формулой Fц = mv²/R. В разных задачах её создают натяжение нити, трение, тяжесть или реакция опоры.

Тангенциальное ускорение — составляющая ускорения вдоль касательной к траектории. Она изменяет модуль скорости, тогда как радиальная составляющая меняет её направление. Поэтому при неравномерном движении по окружности нужно учитывать обе составляющие.

Как это устроено

Скорость при движении по окружности направлена по касательной, а сама касательная в каждой точке имеет новое направление. Даже если число, показывающее модуль скорости, постоянно, вектор скорости изменяется. Изменение вектора означает наличие ускорения, и его радиальная часть направлена к центру.

По второму закону Ньютона ускорение возникает из-за равнодействующей сил: Fрез = ma. Поэтому силы должны иметь такую радиальную сумму, чтобы она обеспечивала ускорение v²/R. Уравнение для радиального направления записывают как ΣFрадиал = mv²/R.

Если скорость меняется по модулю, одной радиальной проекции недостаточно. Касательная составляющая равнодействующей вызывает тангенциальное ускорение, поэтому появляется отдельное уравнение ΣFкас = maτ. Радиальная и касательная части описывают разные изменения движения.

Знак проекции зависит от выбранной оси, а не от названия силы. Удобно направить положительную радиальную ось к центру: тогда силы к центру имеют знак плюс, а силы от центра — знак минус. Центростремительной называют итоговую радиальную составляющую, даже если отдельные силы направлены противоположно.

Решение начинают со схемы тела и всех действующих сил, а не с подстановки в формулу v²/R. Затем выбирают оси, раскладывают силы на проекции и записывают второй закон Ньютона. После этого используют связь ускорения с параметрами окружности и находят искомую величину.

Проекции второго закона Ньютона при движении по окружности

Сначала определите, какая строка соответствует условию: постоянен ли модуль скорости и куда направлена радиальная сумма сил. Затем выберите знаки и подставьте в радиальное или касательное уравнение все силы, а не одну наиболее заметную.

В верхней и нижней точках вертикальной окружности удобно направлять ось к центру. При переходе из одной точки в другую меняется взаимное направление силы тяжести и радиальной оси, поэтому знаки нужно устанавливать заново.

Разбор задач

Горизонтальная окружность

Условие. Тело массой m движется равномерно по горизонтальной окружности радиуса R со скоростью v. Требуется определить горизонтальную силу, обеспечивающую движение.

1. При равномерном движении касательная равнодействующая равна нулю, поэтому рассматриваем только радиальное направление.
2. Центр окружности лежит в горизонтальной плоскости, значит горизонтальная сила и создаёт радиальную равнодействующую.
3. Записываем второй закон Ньютона к центру: F = maц = mv²/R.

Ответ: F = mv²/R, направление силы — к центру окружности.

Груз на нити в нижней точке

Условие. Груз массой m движется по вертикальной окружности радиуса R со скоростью v. Нужно найти натяжение нити T в нижней точке.

1. Выбираем положительное радиальное направление к центру. В нижней точке натяжение T направлено к центру, а сила тяжести mg — от него.
2. Составляем проекцию второго закона Ньютона: T − mg = mv²/R.
3. Выражаем неизвестное натяжение: T = mg + mv²/R.

Ответ: T = mg + mv²/R. Нить натянута сильнее, чем при покое, потому что должна дополнительно сообщать грузу центростремительное ускорение.

Автомобиль на выпуклом участке

Условие. Автомобиль проходит верхнюю точку выпуклого участка дороги радиуса R со скоростью v. Требуется найти реакцию опоры N и скорость, при которой контакт с дорогой исчезает.

1. В верхней точке направление к центру направлено вниз. Сила тяжести mg направлена туда же, а реакция опоры N — вверх.
2. Радиальное уравнение имеет вид mg − N = mv²/R, откуда N = mg − mv²/R.
3. Контакт теряется при N = 0. Тогда mg = mv²/R, поэтому v = √gR.

Ответ: N = mg − mv²/R; потеря контакта наступает при v = √gR и при большей скорости в рамках идеализированной модели.

Типичные ошибки

Центростремительную силу считают дополнительной. Её принимают за ещё одну силу рядом с тяжестью или натяжением, потому что название звучит как обозначение отдельного воздействия. Проверьте схему: в список сил входят только реальные взаимодействия, а центростремительная сила — их радиальная сумма.

К mv²/R приравнивают одну силу. Так поступают, когда забывают о действии нескольких сил одновременно. Сложите их проекции на радиальную ось и только затем приравняйте результат к mv²/R.

Ускорение направляют по скорости. Скорость направлена по касательной, а центростремительное ускорение — к центру. Проверьте рисунок: эти направления в каждой точке окружности взаимно перпендикулярны.

Пренебрегают знаками проекций. Из-за этого силы к центру и от центра складываются вместо вычитания. Заранее проведите одну радиальную ось и не меняйте её положительное направление в ходе решения.

Связь с другими темами

Для темы нужны второй закон Ньютона, сложение векторов и разложение сил на проекции. Без этих навыков трудно правильно получить радиальную и касательную равнодействующие.

Также используются формулы движения по окружности: связь линейной и угловой скоростей v = ωR и выражение aц = v²/R. Они позволяют переходить от угловых характеристик к линейным.

Метод применяется при изучении спутников, транспорта на поворотах, грузов на нитях и движения по вертикальной окружности. В каждом случае меняется набор реальных сил, но порядок решения остаётся тем же.

Что запомнить

• При движении по окружности ускорение направлено к центру.
• Модуль центростремительного ускорения равен aц = v²/R.
• Центростремительная сила — радиальная равнодействующая реальных сил, а не отдельная сила.
• Второй закон Ньютона записывают отдельно для радиального и касательного направлений.
• Направление к центру удобно выбрать положительным для радиальной проекции.
• Тангенциальная составляющая ускорения изменяет модуль скорости, радиальная — её направление.