2. Энергия заряженного конденсатора

Определения и обозначения

Энергия заряженного конденсатора — энергия, запасённая в нём при разделении зарядов между обкладками. Её обозначают W и измеряют в джоулях (Дж). Это понятие позволяет оценить, какую работу конденсатор сможет совершить при разрядке.

Электроёмкость конденсатора C связывает заряд q одной обкладки с напряжением U между обкладками: C = q/U. Единица ёмкости — фарад (Ф). По этой формуле можно определить, какой заряд накопится при данном напряжении, или найти напряжение, если известны заряд и ёмкость.

Работа при зарядке конденсатора — работа сил, которые переносят заряды на обкладки против электрического поля. По мере накопления зарядов поле усиливается, поэтому переносить следующие порции заряда становится труднее. Совершённая работа превращается в энергию конденсатора.

Энергия электрического поля — энергия, запасённая в самом электрическом поле. Заряженный конденсатор служит примером системы, в которой эта энергия существует между обкладками. Поэтому энергию конденсатора можно рассматривать как энергию созданного при зарядке электрического поля.

Как это устроено

В начале зарядки на обкладках ещё нет разделённых зарядов, поэтому напряжение между ними равно нулю. По мере переноса зарядов на одной обкладке накапливается положительный заряд, а на другой — отрицательный; между ними возникает электрическое поле. Поле создаёт всё большее напряжение, и к концу зарядки оно достигает значения U.

Чтобы добавить на обкладку малую порцию заряда, нужно совершить работу против поля, уже созданного ранее перенесёнными зарядами. Для очень маленькой порции эту работу можно представить как произведение напряжения на величину порции заряда. Если отложить заряд q по горизонтальной оси, а соответствующее напряжение по вертикальной, работа при переносе каждой порции соответствует маленькой полоске под графиком U(q). Сумма таких работ равна площади под графиком, то есть полной работе зарядки.

Для конденсатора напряжение растёт линейно от нуля до U, поэтому график U(q) — прямая. Среднее напряжение за весь процесс равно полусумме начального и конечного: (0 + U)/2 = U/2. Работа зарядки равна заряду, умноженному на это среднее напряжение, поэтому W = qU/2. Так появляется множитель ½: напряжение во время зарядки не было всё время равным конечному значению U.

Из определения ёмкости следует q = CU. Подставив эту связь в W = qU/2, получаем W = CU²/2. Если вместо q подставить q = CU в формулу W = qU/2 и выразить U = q/C, получится W = q²/(2C). Все три записи описывают одну и ту же энергию, но используют разные известные величины.

Форму W = qU/2 выбирают, когда в условии даны заряд и напряжение; W = CU²/2 удобна при известных ёмкости и напряжении. Если известны заряд и ёмкость, проще использовать W = q²/(2C), не вычисляя промежуточное напряжение. При разрядке поле ослабевает, а запасённая энергия передаётся другим объектам: она может стать внутренней энергией проводников, излучением или другими видами энергии. Энергия не исчезает, а преобразуется.

Формулы энергии заряженного конденсатора

Сначала выпиши известные величины и выбери строку, в которой они совпадают с данными задачи. Перед вычислением переведи величины в единицы СИ: заряд — в кулоны, ёмкость — в фарады, напряжение — в вольты. Тогда энергия получится в джоулях.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ заряжен до напряжения 10 В. Найдём запасённую энергию. Известны C и U, поэтому подходит формула W = CU²/2; ёмкость перед подстановкой переведём в фарады.

1. Переведём ёмкость: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные: W = (4 · 10⁻⁶ · 10²)/2 = 2 · 10⁻⁴ Дж.
3. Проверим единицы: Ф · В² соответствует джоулю, значит результат выражен в нужной единице.

Ответ: W = 2 · 10⁻⁴ Дж.

Задача 2

Конденсатор имеет заряд 6 мкКл и напряжение 12 В. Определим его энергию и ёмкость. Для энергии непосредственно известны q и U, а ёмкость найдём по определению C = q/U. Переведём микрокулоны в кулоны, чтобы получить результат в СИ.

1. Запишем заряд: q = 6 мкКл = 6 · 10⁻⁶ Кл.
2. Найдём энергию: W = qU/2 = (6 · 10⁻⁶ · 12)/2 = 3,6 · 10⁻⁵ Дж.
3. Найдём ёмкость: C = q/U = (6 · 10⁻⁶)/12 = 5 · 10⁻⁷ Ф = 0,5 мкФ.

Ответ: W = 3,6 · 10⁻⁵ Дж; C = 0,5 мкФ.

Задача 3

Энергию конденсатора увеличили в четыре раза, не меняя его ёмкость. Нужно определить, как изменились напряжение и заряд. При неизменной C формула W = CU²/2 показывает, что энергия зависит от квадрата напряжения. Поэтому четырёхкратному росту энергии соответствует двукратный рост напряжения.

1. Пусть начальная энергия равна W₁, а новая W₂ = 4W₁. Тогда U₂²/U₁² = W₂/W₁ = 4.
2. Извлечём квадратный корень: U₂/U₁ = 2, то есть напряжение выросло в два раза.
3. Так как q = CU и ёмкость постоянна, заряд изменился во столько же раз, что и напряжение.

Ответ: напряжение и заряд увеличились в два раза.

Типичные ошибки

Забывают множитель 1/2 и пишут W = qU. Так происходит, если считать, что заряд переносится при постоянном напряжении U. На самом деле напряжение растёт от нуля, а его среднее значение равно U/2; проверь, что используемая формула согласуется с этим фактом.

Не возводят напряжение в квадрат в формуле W = CU²/2. Иногда показатель степени теряется при переписывании формулы, и результат получается неверным. Перед вычислением отдельно выпиши квадрат напряжения и проверь, что именно U², а не U, стоит в подстановке.

Считают, что при неизменном заряде увеличение ёмкости увеличивает энергию. Такая ошибка возникает из-за неверного переноса зависимости из формулы W = CU²/2 на ситуацию, где постоянен заряд. В записи W = q²/(2C) видно, что при фиксированном q энергия обратно пропорциональна C; проверь, какая величина в задаче не меняется.

Не переводят микрофарады и микрокулоны в единицы СИ. Приставка «микро» означает множитель 10⁻⁶, и её пропуск изменяет ответ в миллион раз. Перед подстановкой запиши C в фарадах и q в кулонах, а затем проверь порядок величины результата.

Связь с другими темами

Чтобы изучать энергию конденсатора, нужно знать определение электроёмкости, связь q = CU и смысл напряжения. Также пригодятся вычисление работы и перевод физических величин в единицы СИ. Эта тема помогает понять энергию электрического поля и связывает её с процессами в электрических цепях. Те же представления используются при изучении зарядки и разрядки конденсаторов.

Что запомнить

• Энергия заряженного конденсатора равна работе, затраченной на его зарядку.
• При зарядке напряжение растёт от нуля до конечного значения U.
• Работа зарядки равна W = qU/2.
• Эквивалентные формулы: W = qU/2, W = CU²/2, W = q²/(2C).
• При постоянной ёмкости энергия пропорциональна квадрату напряжения.
• При постоянном заряде энергия обратно пропорциональна ёмкости.