2. Энергия заряженного конденсатора

Определения и обозначения

Энергия заряженного конденсатора — энергия, запасённая в его электрическом поле; её обозначают W и измеряют в джоулях (Дж). Конденсатор может сохранять эту энергию после зарядки, а при разрядке передавать её другим частям цепи. Поэтому W помогает описывать, сколько энергии способен отдать конденсатор.

Работа по зарядке конденсатора — работа источника электрического тока при переносе заряда на обкладки. Обкладки — проводящие части конденсатора, на которых накапливаются противоположные заряды. Чем больше переносимый заряд, тем большую работу обычно приходится совершить источнику.

Энергия электрического поля — часть энергии заряженного конденсатора, локализованная в пространстве между его обкладками. Иначе говоря, энергия связана не только с самими зарядами, но и с созданным ими полем. Это представление позволяет описывать энергию даже в тех областях пространства, где нет вещества.

Плотность энергии электрического поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля; её обозначают w. Для однородного поля энергия в выбранном объёме равна произведению плотности на объём: W = wV. Это удобно, когда нужно исследовать распределение энергии в пространстве, а не только весь конденсатор целиком.

Как это устроено

Чтобы зарядить конденсатор, источник переносит заряды с одной обкладки на другую. По мере накопления зарядов между обкладками усиливается электрическое поле, которое противодействует дальнейшему переносу одноимённых зарядов. Поэтому напряжение конденсатора растёт, а на перенос следующих порций заряда требуется всё большая работа.

Представим, что источник переносит небольшую порцию заряда dq, когда напряжение на конденсаторе равно U. Для такого малого переноса работа равна dW = U dq: напряжение показывает работу на единицу заряда. Чтобы найти полную работу, нужно сложить работы для всех порций, перенесённых от начального заряда до конечного.

В начале зарядки незаряженного конденсатора напряжение равно нулю, а к концу достигает U. Поскольку напряжение увеличивается равномерно вместе с зарядом, его среднее значение за весь процесс равно (0 + U)/2 = U/2. Значит, полная работа источника равна среднему напряжению, умноженному на перенесённый заряд q: W = qU/2.

Для конденсатора заряд, ёмкость и напряжение связаны формулой q = CU. Подставляя её в W = qU/2, получаем W = CU²/2; если вместо U выразить q через C, выйдет W = q²/(2C). Эти записи описывают одну и ту же энергию, но удобны при разных исходных данных. Здесь C — ёмкость конденсатора, q — заряд, U — напряжение.

Энергия зарядки остаётся в электрическом поле, существующем между обкладками. Для однородного поля энергия равна произведению объёма поля V на плотность энергии w: W = wV. В среде плотность выражается формулой w = εε₀E²/2, где E — напряжённость поля, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, а ε₀ — электрическая постоянная.

Формулы энергии заряженного конденсатора

Найди в таблице строку, в которой перечислены известные величины, и возьми соответствующую формулу. Если даны разные наборы данных, можно получить недостающую величину из связи q = CU и применить другую запись. Все значения перед подстановкой приводи к единицам СИ.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к напряжению 100 В. Найдите энергию, запасённую в конденсаторе. Известны ёмкость и напряжение, поэтому подойдёт формула W = CU²/2. Важно сначала перевести микрофарады в фарады.

1. Переводим ёмкость: C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф = 2 · 10⁻⁵ Ф.
2. Подставляем значения: W = (2 · 10⁻⁵ · 100²)/2 = 0,1 Дж.

Ответ: энергия конденсатора равна 0,1 Дж. Квадрат напряжения заметно влияет на результат: при увеличении напряжения вдвое энергия при той же ёмкости увеличивается в четыре раза.

Задача 2. Конденсатор имеет заряд 4 мКл и энергию 0,2 Дж. Определите напряжение между его обкладками и ёмкость. Сначала используем формулу, в которой участвуют известные энергия и заряд, а затем — связь заряда с ёмкостью и напряжением. Так мы находим неизвестные по очереди.

1. Переводим заряд: q = 4 мКл = 0,004 Кл.
2. Из W = qU/2 выражаем напряжение: U = 2W/q = 0,4/0,004 = 100 В.
3. Из q = CU выражаем ёмкость: C = q/U = 0,004/100 = 0,00004 Ф = 40 мкФ.

Ответ: напряжение равно 100 В, ёмкость — 40 мкФ. Проверка: подстановка этих значений в W = CU²/2 даёт 0,2 Дж.

Задача 3. Заряженный конденсатор отключили от источника, после чего расстояние между его обкладками увеличили вдвое. Как изменились ёмкость, напряжение и энергия? После отключения источник уже не может переносить заряд, поэтому q остаётся постоянным. Ёмкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между обкладками.

1. Если расстояние увеличилось вдвое, ёмкость уменьшилась вдвое: C₂ = C₁/2.
2. При постоянном заряде из q = CU следует, что напряжение обратно пропорционально ёмкости: U₂ = 2U₁.
3. Из W = q²/(2C) следует, что при постоянном q уменьшение ёмкости вдвое удваивает энергию: W₂ = 2W₁.

Ответ: ёмкость уменьшилась вдвое, напряжение и энергия увеличились вдвое. Дополнительная энергия связана с работой, которую требуется совершить при раздвигании притягивающихся обкладок.

Типичные ошибки

Иногда записывают W = CU², забывая множитель 1/2. Ошибка возникает, если считать, что весь заряд переносится при конечном напряжении U, хотя в начале зарядки напряжение равно нулю. Проверь рассуждение: среднее напряжение во время зарядки равно U/2, поэтому W = qU/2 = CU²/2.

Если подставить ёмкость в микрофарадах как число без перевода в фарады, результат окажется неверным в миллион раз. Такое случается из-за того, что приставка «микро» равна 10⁻⁶. Проверяй единицы до вычислений: 20 мкФ — это 20 · 10⁻⁶ Ф, а энергия должна получиться в джоулях.

Нельзя утверждать, что энергия зависит только от заряда или только от напряжения: выбор формулы определяется известными величинами и условиями задачи. Например, формула W = CU²/2 связывает энергию с C и U, а W = q²/(2C) — с q и C. Чтобы проверить рассуждение, выпиши, какие параметры постоянны и какие меняются.

При изменении расстояния между обкладками после отключения источника ошибочно считают неизменным напряжение. В отключённом конденсаторе сохраняется заряд, а ёмкость меняется вместе с расстоянием, поэтому меняется и напряжение. Перед расчётом выясни, подключён ли конденсатор к источнику: при подключении фиксированным может оставаться напряжение, а после отключения — заряд.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны связь заряда, напряжения и ёмкости q = CU, работа электрического поля и единицы энергии. Понимание энергии конденсатора помогает анализировать цепи постоянного и переменного тока, в том числе разряд. Плотность энергии электрического поля используют при изучении электромагнитного поля; сходный подход применяют и к энергии магнитного поля катушки с током.

Что запомнить

• Заряженный конденсатор обладает энергией, запасённой в его электрическом поле.
• Энергия зарядки равна работе, совершённой источником при переносе заряда.
• W = CU²/2.
• W = qU/2 = q²/(2C).
• Энергия измеряется в джоулях.
• Плотность энергии поля определяется формулой w = εε₀E²/2.
• При изменении параметров конденсатора учитывай, что остаётся постоянным: заряд или напряжение.