3. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Энергия электрического поля — энергия, запасённая в электрическом поле и способная совершать работу. Она помогает описывать, сколько работы поле может выполнить при движении зарядов, не рассматривая каждое взаимодействие отдельно.

Энергия заряженного конденсатора — энергия электрического поля между его обкладками. Она появляется при зарядке и может перейти в другие виды энергии при разрядке, поэтому конденсатор способен временно запасать энергию.

Электроёмкость конденсатора — физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к напряжению между его обкладками: C = q/U. Она показывает, какой заряд приходится на единицу напряжения, и позволяет связать величины, нужные для расчёта энергии.

Плотность энергии электрического поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля. Её обозначают w; эта величина нужна, когда важно узнать не только полную энергию, но и то, как она распределена в пространстве.

Как это устроено

При зарядке конденсатора одноимённые заряды на каждой обкладке отталкиваются, а уже возникшее поле мешает переносить новые заряды. Поэтому источник или другое внешнее устройство должно совершать работу, перемещая заряды против действия поля. Работа не исчезает: она запасается в электрическом поле между обкладками и может быть возвращена при разрядке.

В начале зарядки конденсатор не имеет заряда, поэтому напряжение между его обкладками равно нулю. По мере переноса заряда напряжение возрастает и в конце достигает значения U. Значит, нельзя считать, что весь заряд перемещался сразу при конечном напряжении: на ранних этапах напряжение было меньше, а его среднее значение при зарядке равно U/2.

Чтобы получить формулу энергии, рассмотрим малую порцию заряда Δq, которую переносят при текущем напряжении u. Работа на этом небольшом шаге приблизительно равна uΔq; по мере зарядки u растёт от нуля до U. Суммирование работ всех шагов даёт работу W = qU/2, где q — полный заряд. Подставляя q = CU, получаем W = CU²/2, а подставляя U = q/C — W = q²/(2C).

Три формулы описывают одну и ту же энергию, но удобны при разных исходных данных. Если известны ёмкость и напряжение, применяют W = CU²/2; если известны заряд и напряжение — W = qU/2; если известны заряд и ёмкость — W = q²/(2C). Результаты совпадут, если данные связаны равенством q = CU и все величины приведены к единицам СИ.

Для однородного поля между пластинами плоского конденсатора энергия распределена по объёму между ними. Разделив полную энергию на этот объём и выразив ёмкость через геометрию пластин, получают плотность энергии w = εε₀E²/2. Здесь E — напряжённость поля, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ — электрическая постоянная. Формула показывает, что плотность энергии растёт пропорционально квадрату напряжённости.

Энергия электрического поля и заряженного конденсатора

Таблица помогает выбрать формулу по тем данным, которые приведены в условии. В строке о плотности энергии указана энергия в единице объёма, а для перехода к полной энергии нужно умножить её на объём поля. Обратите внимание на условие постоянства ёмкости: только при нём энергия пропорциональна квадрату напряжения.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор электроёмкостью 10 мкФ зарядили до напряжения 200 В. Найдём энергию поля. Известны C и U, поэтому подходит формула W = CU²/2; сначала переведём ёмкость в фарады.

1. Переводим величину: C = 10 мкФ = 10 · 10⁻⁶ Ф = 1 · 10⁻⁵ Ф.
2. Подставляем значения: W = 1 · 10⁻⁵ · 200²/2 = 0,2 Дж.
3. Проверяем размерность: Ф · В² = Кл/В · В² = Кл · В = Дж.

Ответ: энергия поля равна 0,2 Дж. Микрофарады нельзя подставлять в формулу как обычное число 10: это привело бы к ошибке на миллион.

Задача 2. Конденсатор имеет заряд 4 мКл и напряжение 500 В. Определим энергию и электроёмкость. Для энергии известны q и U, а для ёмкости используем определение C = q/U.

1. Переводим заряд: q = 4 мКл = 4 · 10⁻³ Кл.
2. Вычисляем энергию: W = qU/2 = 4 · 10⁻³ · 500/2 = 1 Дж.
3. Находим ёмкость: C = q/U = 4 · 10⁻³/500 = 8 · 10⁻⁶ Ф = 8 мкФ.

Ответ: W = 1 Дж, C = 8 мкФ. Проверка по формуле W = CU²/2 также даёт 1 Дж, поэтому вычисления согласуются.

Задача 3. Воздушный плоский конденсатор отключили от источника, затем расстояние между обкладками увеличили вдвое. Площадь пластин и заряд не меняются. При постоянной площади ёмкость плоского конденсатора C = εε₀S/d, поэтому увеличение d уменьшает C вдвое.

1. После отключения источник больше не поддерживает напряжение; заряд конденсатора остаётся постоянным.
2. Так как C уменьшилась вдвое, из U = q/C следует, что напряжение увеличилось вдвое.
3. По формуле W = q²/(2C) при неизменном q энергия тоже увеличилась вдвое.

Ответ: ёмкость уменьшилась в два раза, напряжение и энергия увеличились в два раза. Дополнительная энергия поступает за счёт работы, затраченной на разведение обкладок против их притяжения.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать W = qU без множителя 1/2. Так делают, считая, что весь заряд перемещался при конечном напряжении, хотя оно росло от нуля. Проверьте себя: при зарядке среднее напряжение равно U/2, поэтому W = qU/2.

Ошибка: подставлять величины без перевода в единицы СИ. Микрофарады, нанокулоны и киловольты содержат множители, которые легко упустить при вычислении. Перед подстановкой запишите C в фарадах, q в кулонах, U в вольтах и проверьте, что энергия получилась в джоулях.

Ошибка: считать, что при удвоении напряжения энергия тоже удваивается. Эту зависимость принимают за линейную, забывая квадрат в формуле W = CU²/2. Если ёмкость постоянна, подстановка 2U вместо U даёт энергию в четыре раза больше; это и есть простая проверка.

Ошибка: не учитывать, подключён ли конденсатор к источнику. При подключении напряжение поддерживается источником, а после отключения сохраняется заряд — это разные условия задачи. Перед расчётом отметьте, какая величина постоянна, и только затем выбирайте формулу энергии.

Связь с другими темами

Для понимания энергии поля нужны работа электрического поля, потенциал и напряжение, а также заряд конденсатора и связь q = CU. Идея напоминает механическую потенциальную энергию: запас энергии может превращаться в работу при изменении положения или состояния системы. Позже эти знания пригодятся в расчётах цепей с конденсаторами и переходных процессов, а также при изучении энергии электромагнитного поля.

Что запомнить

• Энергия заряженного конденсатора — это энергия его электрического поля.
• При зарядке конденсатора энергия равна работе внешних сил.
• W = CU²/2.
• W = qU/2 = q²/(2C).
• Плотность энергии электрического поля w = εε₀E²/2.
• При постоянной электроёмкости энергия пропорциональна квадрату напряжения.
• При изменении конденсатора нужно учитывать, сохраняется ли заряд или напряжение.